Ortogonalgrupp

En ortogonalgrupp är ett matematiskt begrepp inom algebra. Ortogonalgruppen av grad $n$ , betecknad $O(n)$ eller $O_{n}$ , är gruppen bestående av alla isometriska $n$ -dimensionella linjära avbildningar med en fix punkt. $O(n)$ är en undergrupp till den allmänna linjära gruppen $GL(n)$ , och en av de s.k. klassiska Lie-grupperna. Representerad av matriser består $O(n)$ av alla $GL(n)$ -matriser med determinant $\pm 1$ .

Formell definition

Den n-dimensionella ortogonalgruppen över de reella talen är en grupp $(O(n),\circ )$ där

mängden $O(n)\,$ är definierad som:

O(n):=\{g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\mbox{linjär}}\ |\ g(x)\cdot g(y)=x\cdot y\ {\mbox{för alla}}\ x,y\in \mathbb {R} ^{n}\},

d.v.s. funktioner $g\in O(n)$ bevarar skalärprodukten och

gruppoperationen $\circ :O(n)\times O(n)\rightarrow O(n)$ är definierad som:

(f\circ g)(x):=f(g(x))

för alla

x\in \mathbb {R} ^{n}

och

f,g\in O(n)

,

d.v.s. gruppoperationen är sammansättning.

Man kan konstruera ortogonalgrupper över vilken kropp som helst, exempelvis de reella talen, komplexa talen och ändliga kroppar.

Likvärdiga definitioner

Det finns många likvärdiga definitioner för ortogonalgruppen.

Isometrier

Mängden $O(n)\,$ kan också ses som alla linjära isometrier $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ . Mer precist,

O(n)=\{g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\mbox{linjär}}\ |\ |g(x)-g(y)|=|x-y|\ {\mbox{för alla}}\ x,y\in \mathbb {R} ^{n}\},

d.v.s. funktioner $g\in O(n)$ bevarar avstånden.

Ortogonalmatriser

Eftersom det finns en bijektionen mellan alla linjära avbildningar $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ och matriser av storlek $n\times n$ så kan man se mängden $O(n)\,$ som alla ortogonalmatriser av storlek $n\times n$ . Mer precist,