matematisk modell

En matematisk modell representerer en idealisering av et aspekt av virkeligheten, kodifisert i form av én eller flere matematiske ligninger. Matematisk modellering innebærer å regne på hvordan et fenomen eller en prosess endrer seg som følge av endringer i fysiske størrelser, kjemiske komponenter eller biologiske bestanddeler som inngår. Disse komponentene blir da beskrevet ved hjelp av de matematiske ligningene.

Ligningene i en matematisk modell er ikke alltid mulig å løse ved formeluttrykk, så man kan ikke alltid få eksakte, analytiske løsninger. Datasimulering og numeriske metoder gjør det likevel mulig å få et godt innblikk i prosessene. I datasimulering skriver man de matematiske ligningene som programmeringskode og setter inn ulike konkrete verdier i ligningene som beskriver de ulike komponentene i modellen. Deretter kan en datamaskin regne seg fram til den best mulige løsningen ved hjelp av numeriske metoder og optimering.

Newtons bevegelseslov F = ma (kraft er lik masse × akselerasjon) er et eksempel på en vellykket matematisk modell som beskriver for eksempel planetbevegelser og andre fysiske forløp med stor nøyaktighet. Eksempler på enkle, konkrete matematiske modeller er representasjoner av geometriske figurer som kuber, pyramider, kjegler og lignende laget av tre, plast eller andre materialer. Kurver i rommet og flerdimensjonale konfigurasjoner er eksempler på grafiske visualiseringer av matematiske ligninger.

Et stort antall fysiske og biologiske prosesser kan beskrives ved hjelp av differensialligninger. Differensialligninger beskriver dynamiske prosesser, det vil si hvordan prosessene endrer seg over tid eller som følge av forflytning i rommet. På denne måten kan man lage modeller av for eksempel industrielle prosesser, trafikk og forurensning. Modeller basert på differensialligninger brukes også til å beskrive biologiske prosesser og modellere for eksempel hvordan cellene i kroppen fungerer og hvordan sykdommer sprer seg.

Moderne værvarsling er basert på beregninger og visualiseringer av kompliserte teoretiske modeller. Modellering av havbunnen og strømninger i havet har stor betydning for oljeleting og bygging av oljeplattformer.

For at en matematisk modell skal representere et virkelig fenomen så nøyaktig som mulig, trengs gjerne flere ligninger. Derfor er modeller som beskriver for eksempel biologiske prosesser eller værfenomener i detalj, veldig komplekse. Slike modeller kan inneholde hundrevis av ligninger.

Det store antallet ligninger gjør at det kreves store beregningsressurser (mye datakraft) for å gjøre simuleringer med dem. En stor utfordring innen matematisk modellering er derfor å finne en balansegang mellom hvor realistisk og nøyaktig man ønsker at modellen skal være, og hvor mye datakraft man har tilgjengelig, eller hvor lang tid man er villig til å vente på at datasimuleringene blir ferdige. Hvis modellene krever veldig store beregningsressurser, begrenser det hvor mange simuleringer man kan gjøre med dem, og dermed hvor mange ulike scenarioer man kan prøve ut med modellene.

En annen utfordring er at for å kunne vite hvor godt den matematiske modellen representerer det virkelige systemet, må man gjøre eksperimentelle målinger og sammenligne målingene med resultatene fra simuleringer med den matematiske modellen. Noen ganger er det vanskelig å vite hvilke målinger man skal gjøre for å teste modellen, og hvordan man skal tilpasse modellen slik at den gir resultater som passer best mulig til det man kan måle i virkeligheten.

• matematikk
• datasimulering
• ligning