Medie aritmetică

În matematică și statistică, media aritmetică (numită și media aritmetică simplă sau pur și simplu media) reprezintă suma unui set de valori numerice împărțită la numărul total de valori.

Termenul „medie aritmetică” este utilizat pentru a o diferenția de alte tipuri de medii, precum media geometrică și media armonică.

Media aritmetică este folosită frecvent în economie, istorie, antropologie și în multe alte domenii academice. De exemplu, venitul pe cap de locuitor reprezintă media aritmetică a veniturilor populației unei țări.

Deși este una dintre cele mai utilizate măsuri ale tendinței centrale, media aritmetică poate fi influențată puternic de valorile extreme. În cazul unor distribuții asimetrice, precum distribuția veniturilor, mediana poate descrie mai bine „valoarea din mijloc”.

Definiție

Media aritmetică a unui set de date este egală cu suma tuturor valorilor împărțită la numărul total al acestora.

Dacă $a$ și $b$ sunt două numere reale, media lor aritmetică este:

$m_{a}={\frac {a+b}{2}}$

În general, pentru $n$ numere reale $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, media aritmetică este definită prin formula:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}$

În cuvinte simple:

${\frac {\text{suma tuturor valorilor}}{\text{numărul valorilor}}}$

De exemplu, dacă salariile lunare ale cinci angajați sunt:

$\{2500,2700,2300,2650,2450\}$

atunci media aritmetică este:

${\frac {2500+2700+2300+2650+2450}{5}}=2520$

Dacă setul de date conține toate valorile unei populații statistice, atunci media se numește media populației și se notează de obicei cu litera grecească $\mu$. Dacă setul reprezintă doar un eșantion, atunci se folosește noțiunea de medie a eșantionului, notată frecvent cu ${\bar {x}}$.

Proprietăți

Media aritmetică are mai multe proprietăți importante:

• Media aritmetică este întotdeauna mai mare sau egală cu cea mai mică valoare și mai mică sau egală cu cea mai mare valoare din set.
• Suma abaterilor valorilor față de media aritmetică este egală cu zero:

$(x_{1}-{\bar {x}})+(x_{2}-{\bar {x}})+\dots +(x_{n}-{\bar {x}})=0$

• Media aritmetică minimizează suma pătratelor abaterilor, motiv pentru care este frecvent utilizată în statistică și analiza datelor.
• Dacă toate valorile sunt mărite cu aceeași constantă, media crește cu aceeași valoare.

Compararea cu mediana

Media aritmetică diferă de mediană, care reprezintă valoarea ce separă jumătatea inferioară de jumătatea superioară a unui set de date.

Pentru șirul:

$\{1,2,3,4\}$

atât media, cât și mediana sunt egale cu:

$2{,}5$

În schimb, pentru:

$\{1,2,4,8,16\}$

media aritmetică este:

$6{,}2$

iar mediana este:

$4$

Diferența apare deoarece media este sensibilă la valorile extreme.

Media ponderată

Articol principal: Medie ponderată

Media ponderată este o generalizare a mediei aritmetice în care unele valori au o importanță mai mare decât altele.

De exemplu, media aritmetică a numerelor $3$ și $5$ este:

${\frac {3+5}{2}}=4$

Dacă primul număr are o pondere dublă față de al doilea, atunci media ponderată devine:

$3\cdot {\frac {2}{3}}+5\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {11}{3}}$

Istorie

Utilizarea mediei aritmetice ca metodă de combinare a observațiilor numerice a început să se răspândească în perioada modernă. Statisticianul Churchill Eisenhart a urmărit dezvoltarea conceptului în lucrările matematice și statistice europene.

În anul 1635, matematicianul Henry Gellibrand a folosit termenul „meane” pentru a descrie punctul de mijloc dintre două valori extreme. Mai târziu, în 1668, conceptul de „taking the mean” apărea în publicațiile Royal Society.

Generalizări

Media aritmetică poate fi definită nu doar pentru numere reale, ci și pentru:

• vectori;
• funcții;
• distribuții de probabilitate continue;
• mărimi circulare, precum unghiurile.

În cazul unghiurilor, trebuie acordată atenție caracterului ciclic al valorilor. De exemplu, media aritmetică simplă a unghiurilor 1° și 359° este 180°, deși valoarea mai reprezentativă este 0°.

Simboluri

Media aritmetică este notată frecvent cu:

${\bar {x}}$

folosind o bară deasupra variabilei.

Vezi și

• Inegalitatea mediilor
• Media geometrică
• Media armonică
• Mediană
• Mod (statistică)
• Valoare așteptată
• Abatere standard
• Statistică descriptivă

Lectură suplimentară

• Huff, Darrell (1993). How to Lie with Statistics. W. W. Norton. ISBN 978-0-393-31072-6.