Jednostka urojona

Jednostka urojona, jedność urojona – stała matematyczna, której kwadrat wynosi minus jeden: $i^{2}=-1.$ Jest to podstawowy przykład liczby urojonej i przez to zespolonej, definiujący te zbiory. Równanie kwadratowe $x^{2}=-1$ ma dwa zespolone rozwiązania i są wzajemnie przeciwne. Nie ma jednak znaczenia, które z tych rozwiązań oznaczy się przez $i,$ bo przy każdym wyborze powstaną struktury ściśle analogiczne (izomorficzne).

Symbol $i$ to skrót łac. imaginarius – „urojony, zmyślony”. Zaproponował go Leonhard Euler w 1777 roku, a upowszechnił m.in. Carl Friedrich Gauss, począwszy od roku 1801. Jednostka urojona bywa też oznaczana:

• pierwiastkiem kwadratowym ${\sqrt {-1}},$ co bywa dwuznaczne – ten symbol może oznaczać zbiór pierwiastków algebraicznych z minus jedynki, czyli parę liczb;
• małą literą jot $(j),$ zwłaszcza w zastosowaniach inżynierskich jak elektrotechnika i elektronika. Tam litera $i$ oznacza wartością chwilową natężenia prądu.

Interpretacje

Algebra abstrakcyjna

Ciało liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ nie jest algebraicznie domknięte, tzn. istnieją wielomiany zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, które nie mają rzeczywistych rozwiązań. Każdy wielomian można rozłożyć w nim na czynniki liniowe lub kwadratowe, ale nie każdy można rozłożyć na czynniki liniowe. Okazuje się, że dodając formalnie do $\mathbb {R}$ jednostkę urojoną $i,$ otrzymuje się liczby zespolone tworzące ciało liczbowe algebraicznie domknięte.

W tym celu rozpatruje się formalne liczby postaci $a+bi,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R}$. Z własności działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych (przemienności i łączności dodawania oraz mnożenia, a także z rozdzielności mnożenia względem dodawania) oraz ze wspomnianej wyżej własności elementu $i$ wynikają wzory na

• dodawanie,

  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,$

• mnożenie

  $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$

Dowodzi się, że tak określony zbiór formalnych liczb postaci $a+bi$ z wyżej wspomnianymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało.

Układ współrzędnych

Jednostka urojona i w układzie współrzędnych

Przełomem w nauce o liczbach zespolonych był tak zwany diagram Arganda – interpretacja geometryczna liczb zespolonych wprowadzona po raz pierwszy nie tyle przez Szwajcara Jeana Roberta Arganda, ile przez norweskiego geodetę-kartografa Duńskiej Akademii Nauk Caspara Wessela w jego jedynej pracy matematycznej Próba analitycznego przedstawienia kierunku i jego zastosowań, przede wszystkim w rozwiązywaniu wielokątów płaskich i sferycznych. Zamiarem Wessela było stworzenie aparatu służącego do rozwiązywania zadań geodezyjnych.

Bliska idei Wessela jest konstrukcja, której ideę można streścić następująco:

• na płaszczyźnie wprowadza się układ współrzędnych kartezjańskich (zwykle przedstawia się ją jako prostopadłe osie liczbowe przecinające się w tzw. początku układu, przy czym oś odciętych skierowana jest od lewej do prawej, a oś rzędnych – od dołu do góry);
• tak jak liczbę rzeczywistą $r$ można utożsamiać z punktem $\mathrm {r}$ o współrzędnej $r$ na osi liczbowej, tak i liczbę zespoloną $z=a+bi$ można utożsamiać z punktem $\mathrm {z}$ o współrzędnych $(a,b)$ płaszczyzny;
• jednostkę urojoną $i$ można wtedy utożsamiać z punktem $\mathrm {i}$ o współrzędnych $(0,1).$

Przestrzenie unitarne i euklidesowe

Każdy punkt płaszczyzny można utożsamić jednoznacznie z jego wektorem wodzącym zaczepionym w początku układu współrzędnych; z kolei każdy wektor wodzący można utożsamić z wektorem swobodnym przez niego wyznaczonym. Formalnie mówienie o wektorach wodzących możliwe jest w przestrzeniach liniowych, z kolei układ współrzędnych kartezjańskich wymaga iloczynu skalarnego, czyli tzw. przestrzeni unitarnej (przestrzeni liniowej euklidesowej). O wektorach swobodnych mówić można w obecności struktury afinicznej, która dodana do przestrzeni unitarnej czyni z niej tzw. przestrzeń euklidesową (przestrzeni afinicznej euklidesowej).

W dwuwymiarowej przestrzeni unitarnej bądź euklidesowej $E^{2}$ ze standardowym iloczynem skalarnym jednostka urojona $\mathbf {i} =[0,1]$ jest prostopadła do jednostki rzeczywistej $\mathbf {1} =[1,0],$ przy czym oba te wektory tworzą bazę ortonormalną wspomnianej przestrzeni.

Algebra Clifforda

Dla jednowymiarowej przestrzeni liniowej $\mathbb {R} \mathbf {e}$ nad ciałem liczb rzeczywistych rozpiętej na wektorze $\mathbf {e}$ algebra Clifforda formy kwadratowej $f\colon \mathbb {R} \mathbf {e} \times \mathbb {R} \mathbf {e} \to \mathbb {R}$ spełniającej $f(\mathbf {e} ,\mathbf {e} )=-1$ ma strukturę ciała liczb zespolonych (jest z nim izomorficzna), a $\mathbf {e}$ jest w niej jednostką urojoną.

Potęgowanie jednostki urojonej

Potęgi liczby i o wykładnikach całkowitych:
$\vdots$
$i^{-4}={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$i^{-3}={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$i^{6}\ =-1{\phantom {i}}$
$i^{7}\ =-i{\phantom {1}}$
$\vdots$

Jeśli liczba $i$ jest podniesiona do potęgi całkowitej, to istnieją cztery możliwe wyniki. Powtarzają się cyklicznie – dla $k\in \mathbb {Z}$:

$i^{n}={\begin{cases}1,&n=4k,\\i,&n=4k+1,\\-1,&n=4k+2,\\-i,&n=4k+3.\end{cases}}$

Jednostkę urojoną można też podnosić do potęgi urojonej. Używając wzoru Eulera, można ją przedstawić w postaci wykładniczej:

$i=\exp i{\Big (}{\frac {\pi }{2}}+2k\pi {\Big )},\ k\in \mathbb {Z} ,$

gdzie $\exp$ to funkcja wykładnicza eksponens. Na tej podstawie w 1864 roku Benjamin Peirce podał wzór:

$i^{-i}={\sqrt {e^{\pi }}},$

pokazując, że urojona potęga liczby urojonej może dawać rzeczywisty wynik.

Uogólnienia

Konstrukcja ciała liczb zespolonych polegająca na wprowadzeniu jednostki urojonej do ciała liczb rzeczywistych zastosowana do ciała liczb zespolonych umożliwia tworzenie innych struktur tego rodzaju, które jednak nie tworzą ciał. Zupełnie analogicznie jak w przypadku zespolonym określając na parach uporządkowanych liczb zespolonych $(z,t),(u,v)$ działania

• dodawania,

  $(z,t)+(u,v)=(z+u,t+v),$

• mnożenia,

  $(z,t)\cdot (u,v)=(zu-t{\overline {v}},zv+t{\overline {u}}),$

otrzymuje się pierścień z dzieleniem kwaternionów będący czterowymiarową przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych rozpiętą na czterech wektorach

$\mathbf {1} =[1,0],\quad \mathbf {i} =[i,0],\quad \mathbf {j} =[0,1]\quad {\text{ oraz }}\quad \mathbf {k} =[0,i],$

z których trzy ostatnie, spełniające $\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-\mathbf {1} ,$ można traktować jako jednostki urojone. Podobnie źródłem wielu jednostek urojonych są algebry Clifforda.

Zobacz też

• lista stałych matematycznych

Bibliografia

• Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia. A.P. Juszkiewicz (red.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• И.М. Яглом: Комплексные числа и их применение в геометрии. Москва: Едиториал УРСС, 2004.
• Lew Pontriagin: Metoda współrzędnych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1995. ISBN 83-02-05257-4.
• Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1968.

Literatura dodatkowa

• Dale Husemoller: Fibre bundles. New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, London, Sydney: McGraw-Hill Book Company, 1966.
• Gaston Casanova: ĽAlgèbre Vectorielle. Presses Universitaires de France, 1976.

Linki zewnętrzne

• Liczby zespolone – liczba urojona „i”, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Imaginary Unit, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).