Deltoida

Deltoida zaznaczona na czerwono

Konstrukcja deltoidy – toczenie okręgu wewnątrz okręgu trzykrotnie szerszego

Deltoida – krzywa płaska konstruowana toczeniem okręgu wewnątrz innego okręgu, trzykrotnie szerszego. Jeśli $r$ to promień toczonego okręgu, a $R$ – okręgu zewnętrznego, to ${\tfrac {R}{r}}=3.$

Deltoida jest przykładem – czyli szczególnym przypadkiem – hipocykloidy i przez to krzywej cyklicznej. Pierwszy opis deltoidy pochodzi z XVIII wieku, kiedy Leonhard Euler rozważał ją w kontekście optyki.

Własności

• Obwód (długość krzywej):

$L=16r={\frac {16}{3}}R$

• Pole powierzchni:

$S=2\pi r^{2}={\frac {2}{9}}\pi R^{2}$

• Równanie współrzędnych kartezjańskich:

$(x^{2}+y^{2}+12rx+9r^{2})^{2}=4r(2x+3r)^{3}$

$(x^{2}+y^{2}+4Rx+R^{2})^{2}={\frac {4}{3}}R(2x+R)^{3}$

• Równanie parametryczne tych współrzędnych:

${\begin{cases}x=r(2\cos t+\cos 2t)\\y=r(2\sin t-\sin 2t)\end{cases}}$

• Ewoluta i ewolwenta deltoidy także są deltoidami.

Zobacz też

• Delta (litera)

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Deltoid Catacaustic, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Deltoid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Deltoid Radial Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Steiner Deltoid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Steiner curve (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].