Antisymmetrische tensor

In wiskunde en theoretische natuurkunde, bedoelt men met antisymmetrische tensor een tensor waarvan het teken omdraait onder een permutatie van twee indices. Een tensor van orde $r$ is dus antisymmetrisch indien

$T_{i_{1}i_{2}\dots i_{j}\dots i_{k}\dots i_{r}}=-T_{i_{1}i_{2}\dots i_{k}\dots i_{j}\dots i_{r}}$

voor elke $j$ en $k$. Men kan van elke tensor als volgt een antisymmetrische tensor construeren:

$T_{[i_{1}i_{2}\dots i_{r}]}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\Pi (\sigma )T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.$

Hierbij loopt de som over alle mogelijk permutaties en is $\Pi (\sigma )$ de pariteit van de permutatie. In woorden: neem alle mogelijke permutaties van de indices en geef ze een minteken indien de betreffende permutatie overeenstemt met een oneven aantal verwisselingen. Voor een antisymmetrische tensor is dus

$T_{[i_{1}i_{2}\dots i_{r}]}=T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}$

Veel tensoren die optreden in de natuurkunde zijn voor te stellen als antisymmetrische tensoren/tensorvelden. De krommingstensor van Riemann en het levi-civita-symbool of antisymmetrische symbool zijn voorbeelden van antisymmetrische tensoren.