Topologia classium punctorum

Topologistarum curva sini^(en) est inclitum exemplum in topologia classium punctorum: nam figura est conexa^(en) quamquam itinere conexa^(fr) non sit.

Topologia classium punctorum, seu topologia generalis, est pars mathematicae quae circa spatia topologica versatur. Haec sunt classes in quibus topologia^(en)” definitur, quae notionem “apertarum subclassium” indicat, vel, aequivalenter, “clausarum subclassium”—quoniam cuiusque classis apertae complementum^(en) est classis clausa, et vice versa.

“Topologia” multis aequivalentibus rationibus definiri potest. Consuetum est dicere ${\mathcal {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ esse topologiam super $X$ quotienscumque ${\mathcal {O}}$ omnes uniones omnesque finitas intersectiones suorum elementorum includat. Tunc ${\mathcal {O}}$ intellegitur aggregatio classium apertarum in X.

Eadem notio topologiae etiam per quattuor axiomata Kuratovii definiri potest. Sint enim $A,B\subseteq X$ classes punctorum in $X$ et $\mathbf {cl$ :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)} functio subclassium $X$ ($\mathbf {cl}$ dicitur clausura); tunc axiomata Kuratovii hoc modo definiri possunt:

• $\mathbf {cl} (\emptyset )=\emptyset$
• $A\subseteq \mathbf {cl} (A)$
• $\mathbf {cl} (\mathbf {cl} (A))=\mathbf {cl} (A)$
• $\mathbf {cl} (A\cup B)=\mathbf {cl} (A)\cup \mathbf {cl} (B)$

Nexus inter duas has definitiones hoc est, quod classis $A$ est clausa quotienscumque $\diamond A=A$.

$\mathbf {cl}$ sibi idem vult, sicut $\diamond$ in logica modali. Etenim axiomata Kuratovii axiomatibus S4 in logica modali aequivalent; ergo quaeque logica modalis spatio topologico respondet, et e converso.

Plerumque eis spatiis studetur quae quibusdam condicionibus satisficiunt, exempli gratia condicione Hausdorffianā (quae dicit quibusque punctis $x,y$ respondere classes apertas $A\ni x,B\ni y$, a se in vicem sejunctas), vel condicione compactionis imperfectae (Anglice quasi-compactness—quae dicit omnes celationes spatii—i.e. omnes aggregationes classium apertarum, quarum totum spatium unio est—habere subcelationem finitam).

Mathematici pluribus lineamentis spatiorum topologicorum student, v.g. metricis^(en), tabulis continuis, limitibus, etc.

Bibliographia

• Dixmier, Iacobus (1984). General Topology. Novi Eboraci, Berolini, Heidelbergae, Tokii: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90972-9
• Viro, O. Y.; Ivanov, O. A.; Kharlamov, V. M. & Netsvetaev, N. Y. (2008). Elementary Topology Problem Textbook. ISBN 9780821845066
• Stacks Project Authors, The (2026). The Stacks Project

Nexus interni

• Logica modalis
• Spatium Hausdorffianum^(en)
• Spatium topologicum
• Continuitas
• Theoria classium
• Topologia