Reticulum (mathematica)

Subclasses classis $\{x,y,z\},$ sub theoria inclusionis classium^(en) intellectae. Forma diagrammatis Hasseani^(en) nomen “reticuli” suadet.

Reticulum in mathematica est structura algebraica^(en) duas per operationes associativas et commutativas definita. Quae operationes appellantur ∧ (occursio, infimum) et ∨ (junctio, supremum).

Definitio prima

Omni reticulo, operationes junctionis (∨) et occursionis (∧) ad invicem ita relantur ut, omni A et B,

1. A ∧ (A ∨ B) = A ∨ (A ∧ B) = A
2. A ∧ A = A ∨ A = A

Haec axiomata, per quae reticulum definiri potest, sunt auto-dualia^(en) i.e., his in axiomatibus ∧ cum ∨ commutari potest dum axiomata eadem remanebunt. Hac igitur substitutione omnis lex reticulorum in aliam legem reticulorum transformari potest.

Definitio altera

Reticulum etiam definiri potest ut aggregatio partim ordinata^(en) ordinis relatione ≤ in quo

1. omnibus A, B est infimum A ∧ B: idest, omni C, C ≤ A ∧ B quotienscumque C ≤ A et C ≤ B.
2. omnibus A, B est supremum A ∨ B: idest, omni C, C ≥ A ∨ B quotienscumque C ≥ A et C ≥ B.

Genera reticulorum

Sunt alia axiomata quae proprietates quorumdam (non omnium) reticulorum exprimunt. Exempli gratia, per axioma modularitatis, quae statuit A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ C quotienscumque A ∧ C = C, reticulum modulare^(en) definitur; atque per axioma distributivitatis, quae statuit A ∧ (B ∨ C) esse (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)—vel aequivalenter A ∨ (B ∧ C) esse (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)—reticulum distributivum^(en) definitur. Axiomata sunt tam modularitatis quam distributivitatis auto-dualia.

Exempla

Omnis algebra Booleana^(en) est reticulum distributivum.

Omnes (et solae) algebrae aggregationum sub operationibus unionis $\cup$ et intersectionis $\cap$ sunt reticula distributiva.

Bibliographia

• Rédei, Vladislavus (1967). Algebra. Londinii, Oxoniae, Edinburgi, Neo-Eboraci, Toronti, Lutetiae, Sydnei, Brunsvici: Pergamon Press