Matrice de Vandermonde

En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

$V={\begin{pmatrix}1&\alpha _{1}&{\alpha _{1}}^{2}&\dots &{\alpha _{1}}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&{\alpha _{2}}^{2}&\dots &{\alpha _{2}}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&{\alpha _{3}}^{2}&\dots &{\alpha _{3}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{m}&{\alpha _{m}}^{2}&\dots &{\alpha _{m}}^{n-1}\\\end{pmatrix}}$

Autrement dit, pour tous i et j, le coefficient en ligne i et colonne j est $V_{i,j}={\alpha _{i}}^{j-1}.$

Remarque.

Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.

Inversibilité

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (m = n). Elle est inversible si et seulement si les α_i sont deux à deux distincts.

Démonstration

Si deux coefficients $\alpha _{i}$ sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans la prochaine section. Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX = 0 pour X de composantes x₀, …, x_{n – 1} :

${\begin{cases}x_{0}+\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{1}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{1}^{n-1}x_{n-1}=0\\&\vdots \\x_{0}+\alpha _{n}x_{1}+\alpha _{n}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{n}^{n-1}x_{n-1}=0\end{cases}}$

En introduisant le polynôme

$P(Y)=\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}Y^{i}$,

on voit que si X vérifie l'équation VX = 0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré ; donc P est nul, et ainsi X = 0, ce qui prouve que V est inversible.

Déterminant

Le déterminant d'une matrice $n\times n$ de Vandermonde ($m=n$ dans ce cas) peut s'exprimer ainsi

$\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$.

Démonstration

Le déterminant $D(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ de la matrice est un polynôme en $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$. De plus, ce déterminant s'annule lorsque deux des nombres $\alpha _{i},\alpha _{j}$ sont égaux puisqu'il y a alors deux lignes identiques. Par suite, ce déterminant est égal à

$P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\cdot Q(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$

où

$P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$

et où $Q$ est lui-même un polynôme.

Cependant, le polynôme $D$ est homogène, de degré 0 + 1 + … + (n – 1) = n(n – 1)/2. Puisqu'il en est de même de $P$, le polynôme $Q$ est en fait une constante. Enfin, cette constante vaut 1 puisque dans les développements de $D$ et de $P$, le coefficient du monôme $\alpha _{n}^{n-1}\alpha _{n-1}^{n-2}\ldots \alpha _{2}^{1}$ a la même valeur non nulle égale à 1.

Applications

La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale.

Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m}$ sont des racines complexes de l'unité.

Voir aussi

Bibliographie

• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, t. 1 : algèbre, m.p. - spéciales m', m, Paris, Dunod, 1971, p. 316-319.
• Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Précis de mathématiques, t. 2, Algèbre 2, Bréal, 1994, 3^e éd., p. 19-20.

Articles connexes

• Interpolation lagrangienne
• Polynôme de Schur

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Vandermonde Matrix », sur MathWorld
• Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes