Matrice de Hilbert

En algèbre linéaire, les matrices de Hilbert (en hommage au mathématicien David Hilbert) forment une suite de matrices carrées d'ordre $n$ de terme général

$(H_{n})_{i,j}:={\frac {1}{i+j-1}}.$

Ainsi, la matrice de Hilbert de taille 5 vaut

$H_{5}={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{pmatrix}}.$

Les matrices de Hilbert servent d'exemples classiques de matrices mal conditionnées, ce qui en rend l'usage très délicat en analyse numérique. Par exemple, le coefficient de conditionnement (pour la norme 2) de la matrice précédente est de l'ordre de 4,8×10⁵.

Le déterminant de telles matrices peut être calculé de façon explicite, comme cas particulier d'un déterminant de Cauchy.

Historique

Hilbert a introduit en 1894 la matrice qui porte son nom pour étudier la question suivante en théorie de l'approximation : « Soit $I=[a,b]$ un intervalle réel. Peut-on trouver un polynôme non nul $P$ à coefficients entiers tel que l'intégrale $\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$ soit inférieure à $\varepsilon >0$ donné, aussi petit soit-il ? Pour répondre à cette question, Hilbert établit une formule exacte pour le déterminant des matrices de Hilbert et étudie leur comportement asymptotique. Il conclut que la réponse est positive si la longueur $b-a$ de l’intervalle est inférieure à 4.

Propriétés

Si on interprète le terme général de la matrice de Hilbert comme

$(H_{n})_{i,j}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,\mathrm {d} x,$

on peut y reconnaître une matrice de Gram pour les fonctions puissances et le produit scalaire usuel sur l'espace des fonctions de [0, 1] dans $\mathbb {R}$ de carré intégrable. Puisque les fonctions puissances sont linéairement indépendantes, les matrices de Hilbert sont des matrices symétriques définies positives. Elles sont même totalement positives (le déterminant de chaque sous-matrice est strictement positif).

Les matrices de Hilbert sont des exemples de matrices de Hankel .

Leur déterminant peut être exprimé sous forme close, comme cas particulier de déterminant de Cauchy. Le déterminant de la matrice de Hilbert d'ordre $n$ s'obtient par la formule :

$\det(H_{n})={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},$

où

$c_{n}=\prod _{k=1}^{n-1}k^{n-k}=\prod _{k=1}^{n-1}k!$ ; les $c_{n}$ sont les super-factorielles.

Hilbert avait déjà mentionné le fait curieux que ces déterminants sont des inverses d'entiers (fractions unitaires).

Ceci découle de l'identité :

${\frac {1}{\det(H_{n})}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{k=1}^{2n-1}{\binom {k}{[k/2]}}.$

Ces termes forment la suite A005249 de l'OEIS.

En utilisant la formule de Stirling on peut établir le résultat asymptotique suivant :

$\det(H_{n})\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},$

où $a_{n}$ tend vers la constante $e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0,6450$ lorsque $n\to \infty$, où $A$ est la constante de Glaisher-Kinkelin .

L'inverse de la matrice de Hilbert d'ordre $n$ peut être exprimé sous forme fermée à l'aide de coefficients binomiaux :

$(H_{n}^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},$

Il s'ensuit que les coefficients de la matrice inverse sont tous des entiers et que les signes forment un motif en damier, étant positifs sur la diagonale principale. Par exemple,

${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hilbert matrix » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Matrice de Cauchy, généralisation d'une matrice de Hilbert

Liens externes

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Den Store Danske Encyklopædi