Centre d'un groupe

En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres.

Définition

Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre Z_G est

$Z_{G}=\left\{z\in G\mid \forall g\in G\quad gz=zg\right\}$.

Propriétés

• Dans G, Z_G est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique.
• Tout sous-groupe de Z_G est sous-groupe normal de G.
• Z_G est abélien.

Exemples

• Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : Z_G = G.
• Le centre du groupe alterné A_n est trivial pour n ≥ 4.
• Le centre du groupe linéaire GL_n(R) est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles, pour tout anneau commutatif R.

Application

L'action par conjugaison de G sur lui-même est le morphisme de G dans le groupe des automorphismes de G $\iota :G\to Aut(G),\,g\mapsto \iota _{g},$

où ι_g est l'automorphisme intérieur défini par $\iota _{g}:G\to G,h\mapsto ghg^{-1}.$

Son noyau et son image sont

$\ker(\iota )=Z_{G}\quad {\text{ et }}{\mbox{im}}(\iota )={\mbox{Int}}(G).$

Le sous-groupe Int(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G. Ce résultat permet de montrer que tout groupe fini dont l'ordre est le carré d'un nombre premier est abélien.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

$G/Z_{G}\simeq {\mbox{Int}}(G).$

Notons également qu'on groupe est abélien, si et seulement si, le quotient par son noyau est cyclique.

Articles connexes

• Centre (algèbre)
• Centralisateur