Anomalie moyenne

En mécanique céleste, l'anomalie moyenne (en anglais : mean anomaly) est une mesure d'angle entre le périapse et la position d'un corps fictif parcourant une orbite circulaire synchrone avec le corps réel.

Le terme « anomalie » trouve son origine historique dans le système géocentrique antique dans lequel les anciens constataient une anomalie de l'orbite par rapport à l'orbite circulaire idéale.

Notation

L'anomalie moyenne est couramment notée $M$ (lettre M capitale de l'alphabet latin).

Calcul

L'anomalie moyenne est donnée par la formule :

$M=n\,(t-t_{0})={\sqrt {\frac {G(M_{\star }\!+\!m)}{a^{3}}}}\,(t-t_{0})$

dans laquelle :

• $n$ est le mouvement moyen ;
• $a$ est le demi-grand axe ;
• $M_{\star }$ et $m$ sont les masses ;
• $G$ est la constante gravitationnelle ;
• $t$ est le temps ;
• $t_{0}$ est l'instant de passage au périapse.

Dans le cas d'une orbite elliptique, l'anomalie moyenne est liée à l'anomalie excentrique $E$ et à l'excentricité $e$ par l'équation de Kepler : $M=E-e\,\sin E$. Celle-ci permet de calculer l'heure en fonction de la position de la planète. En revanche la formule réciproque qui exprimerait $E$ en fonction du temps est plus difficile.

Diagramme

Dans le diagramme ci-dessous, l'anomalie moyenne, notée $M$, est l'angle ${\widehat {zcy}}$. Le point $y$ est défini de façon que le secteur circulaire $zcy$ ait la même surface que le secteur d'ellipse $zsp$. L'angle ${\widehat {zcx}}$ est l'anomalie excentrique $E$. L'angle ${\widehat {zsp}}$ est l'anomalie vraie $V$. La position $p$ de la planète se trouve à l'intersection de l'ellipse avec la perpendiculaire à l'axe des absides passant par $x$. Cette droite est dans la direction d'une affinité de rapport $b/a$ entre le grand cercle et l'ellipse.

Démonstration de la formule de Kepler

En faisant la soustraction de l'aire du secteur circulaire $zcx$ notée ${\mathcal {A}}_{1}$ par l'aire du triangle $scx$ notée ${\mathcal {A}}_{2}$ on trouve la surface notée ${\mathcal {A}}_{3}$, puis en faisant l'affinité de rapport $b/a$ on trouve l'aire du secteur d'ellipse $zsp$ notée ${\mathcal {A}}$ :

${\mathcal {A}}_{1}=\pi a^{2}\times {\frac {E}{2\pi }}={\tfrac {1}{2}}a^{2}E$, ${\mathcal {A}}_{2}={\tfrac {1}{2}}a^{2}e\sin E$, d'où ${\mathcal {A}}_{3}={\tfrac {1}{2}}a^{2}(E-e\sin E)$ puis ${\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}ab(E-e\sin E)$.

On connait l'aire totale et la période $T$ de l'ellipse donc d'après la loi des aires au cours d'un intervalle de temps $t-t_{0}$ à partir du périapse la surface balayée par le rayon de l'ellipse est aussi :

${\mathcal {A}}={\frac {\pi ab}{T}}\times (t-t_{0})\Rightarrow {\frac {\pi ab}{T}}\times (t-t_{0})={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)\Rightarrow {\frac {2\pi }{T}}\times (t-t_{0})=E-e\sin E$.

Or $2\pi /T$ est le moyen mouvement ou la vitesse angulaire moyenne donc $2\pi /T\times (t-t_{0})$ est l'angle parcouru par la planète fictive ayant un mouvement circulaire uniforme de même période $T$ que l'ellipse. C'est l'anomalie moyenne $M$. D'où la formule :

$M=E-e\sin E$.

Utilisation

La relation entre anomalie moyenne et anomalie excentrique s'est avérée très utile pour prédire la trajectoire des satellites artificiels ou naturels, calculer les éphémérides, prévoir la date exacte d'arrivée des comètes, optimiser la navigation spatiale. La formule réciproque nécessaire pour exprimer l'anomalie excentrique en fonction de l'anomalie moyenne donc du temps est complexe, mais des moyens modernes permettent d'aller encore plus loin en prenant en compte des perturbations non képlériennes.

Voir aussi

Bibliographie

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., x+956 p., ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.anomalie, p. 35, col. 1-2.

Articles connexes

• Anomalie excentrique
• Anomalie vraie
• Équation de Kepler
• Lois de Kepler