Konoidit ja sferoidit

Konoidit ja sferoidit
Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων
Aukeama teoksen latinankielisestä laitoksesta vuodelta 1558.
Alkuperäisteos
Kirjailija	Arkhimedes
Kieli	muinaiskreikka
Genre	matematiikka
Julkaistu	200-luku eaa.
Löydä lisää kirjojaKirjallisuuden teemasivulta
Infobox OK

Konoidit ja sferoidit (m.kreik. Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων, Peri kōnoeideōn kai sfairoeideōn, lat. De conoidibus et sphaeroidibus) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee pääasiassa tilavuuksia, jotka syntyvät kartioleikkausten pyörähtämisestä akselinsa ympäri.

Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksensa Konoidit ja sferoidit, tai sananmukaisesti käännettynä Konoideista ja sferoideista, hän osoitti ystävälleen Dositheos Pelusionlaiselle. Wilbur Knorr luki teoksen Arkhimedeen kypsempien teosten joukkoon. Kuten teos Spiraalit, myös Konoidit ja sferoidit oli Arkhimedeelle vaivalloisten ja aluksi tuloksettomien yritysten tulos: hän kuvaa sen syntyä teoksen johdannossa seuraavasti:

»Arkhimedes Dositheokselle, tervehdys. Sisällytän tähän kirjaan paitsi niiden muiden teoreemojen todistukset, joita ei ollut mukana niissä, jotka lähetin sinulle, myös muiden teoreemojen todistukset, jotka löysin myöhemmin ja jotka aiheuttivat minulle epävarmuutta — sillä tutkittuani niitä useaan otteeseen ne näyttivät sisältävän monia vaikeuksia. Tästä syystä näitä teoreemoja ei sisällytetty muiden joukkoon; mutta tarkasteltuani niitä uudelleen huolellisemmin löysin tulokset, jotka olivat jääneet minulta huomaamatta. Se, mitä ensimmäisistä teoreemoista oli vielä jäljellä, koski paraboloidista konoidia; viimeksi löydetyt taas koskevat hyperbolista konoidia ja sferoideja – –»

Arkhimedeen teoksessa käyttämä menetelmä lähestyy integraalilaskentaa, ja hän pääsi tässä lähemmäksi kuin kukaan muu antiikin aikana.

Sisältö

Tutkielma käsittää 32 propositi­ota. Niiden aiheena ovat kappaleet, jotka syntyvät kartioleikkausten pyörähtäessä akselinsa ympäri. Arkhimedes määrittelee ja tutkii kahta pääryhmää tällaisia kappaleita: sferoidit eli pyörähdysellipsoidit, ja konoidit eli paraabelin ja hyperbelin pyörähdyksestä syntyvät kappaleet pyörähdysparaboloidi ja pyörähdyshyperboloidi. Hän erottaa erityisesti pitkänomaiset ja litistyneet sferoidit sen mukaan, pyörähtääkö ellipsi pää- vai sivuakselinsa ympäri, ja tarkastelee vastaavasti erilaisia konoideja riippuen peruskäyrästä.

Teoksen ytimessä on tilavuuksien täsmällinen määrittäminen. Arkhimedes osoittaa, että sferoidien tilavuudet voidaan ilmaista yksinkertaisissa suhteissa sylinterin ja kartion tilavuuksiin. Hän johtaa tuloksia tiukasti geometristen argumenttien avulla, vertaamalla kappaleiden poikkileikkauksia toisiinsa. Päätulokset koskevat minkä tahansa tasolla erotetun kappalesegmentin tilavuuden vertailua sen kartion tilavuuteen, jolla on sama pohja ja akseli (propositiot 21 ja 22 pyörähdysparaboloidille, 25 ja 26 pyörähdyshyperboloidille sekä 27–32 pyörähdysellipsoidille).

Propositiot

Arkhimedeen esittämät propositiot ovat:

• Propositio 1. Jos $A_{1},B_{1},C_{1},...,K_{1}$ ja $A_{2},B_{2},C_{2},...,K_{2}$ ovat kaksi suureiden sarjaa siten, että

$A_{1}:B_{1}=A_{2}:B_{2},$

$B_{1}:C_{1}=B_{2}:C_{2}$ ja niin edelleen,

ja jos $A_{3},B_{3},C_{3},...,K_{3}$ sekä $A_{4},B_{4},C_{4},...,K_{4}$ ovat kaksi muuta sarjaa siten, että

$A_{1}:A_{3}=A_{2}:A_{4},$

$B_{1}:B_{3}=B_{2}:B_{4}$ ja niin edelleen,

niin

$(A_{1}+B_{1}+C_{1}+...+K_{1}):(A_{3}+B_{3}+C_{3}+...+K_{3})$

$=(A_{2}+B_{2}+C_{2}+...+K_{2}):(A_{4}+B_{4}+C_{4}+...+K_{4}).$

• Propositio 2. Jos $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ ovat mitkä tahansa pinta-alat siten, että

$A_{1}=ax+x^{2},$

$A_{2}=a2x+(2x)^{2},$

$A_{3}=a3x+(3x)^{2},$

$...$

$A_{n}=anx+(nx)^{2},$

niin

$nA_{n}:(A_{1}+A_{2}+...+A_{n})<(a+nx):({\tfrac {a}{2}}+{\tfrac {nx}{3}})$

ja

$nA_{n}:(A_{1}+A_{2}+...+A_{n-1})>(a+nx):({\tfrac {a}{2}}+{\tfrac {nx}{3}}).$

• Propositio 3. (1) Jos $TP$ ja $TP'$ ovat minkä tahansa kartioleikkauksen kaksi tangenttia, jotka leikkaavat toisensa pisteessä $T$, ja jos $Qq$ ja $Q'q'$ ovat kaksi jännettä, jotka ovat vastaavasti yhdensuuntaiset $TP$:n ja $TP'$:n kanssa ja leikkaavat toisensa pisteessä $O$, niin

$QO\cdot Oq:Q'O\cdot Oq'=TP^{2}:TP'^{2}.$

(2) Jos QQ′ on paraabelin jänne, jonka halkaisija $PV$ puolittaa pisteessä $V$, ja jos $PV$ on vakiopituinen, niin kolmion $PQQ'$ pinta-ala ja segmentin $PQQ'$ pinta-ala ovat molemmat vakioita riippumatta jänteen $QQ'$ suunnasta.

• Propositio 4. Minkä tahansa ellipsin pinta-ala on suhteessa sitä ympäröivän ympyrän pinta-alaan samassa suhteessa kuin pikkuakseli on isoakseliin.
• Propositio 5. Jos $AA'$ ja $BB'$ ovat ellipsin isoakseli ja pikkuakseli ja $d$ on minkä tahansa ympyrän halkaisija, niin

${\displaystyle {\text{(ellipsin pinta-ala)$ : (ympyrän pinta-ala)}}}

$=AA'\cdot BB':d^{2}.$

• Propositio 6. Ellipsien pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin niiden akselien muodostamien suorakulmioiden suhde.
• Propositio 7. Kun annetaan ellipsi, jonka keskipiste on $C$, ja suora $CO$, joka piirretään kohtisuorasti ellipsin tasosta, on mahdollista löytää ympyräkartio, jonka kärki on $O$ ja jonka leikkaus on annettu ellipsi (eli löytää kartion ympyräleikkaukset, joiden kärki on $O$ ja joiden pinta kulkee ellipsin kehän kautta).
• Propositio 8. Kun annetaan ellipsi, taso, joka kulkee sen akselin $AA'$ kautta ja on kohtisuorassa ellipsin tasoa vastaan, sekä suora $CO$, joka piirretään keskipisteestä $C$ annetussa tasossa $AA'$:n kautta mutta ei kohtisuorasti $AA'$:tä vastaan, on mahdollista löytää kartio, jonka kärki on $O$ ja jonka leikkaus on annettu ellipsi (eli löytää kartion ympyräleikkaukset, joiden kärki on $O$ ja joiden pinta kulkee ellipsin kehän kautta).
• Propositio 9. Kun annetaan ellipsi, taso, joka kulkee sen akselin kautta ja on kohtisuorassa ellipsin tasoa vastaan, sekä suora $CO$, joka piirretään ellipsin keskipisteestä $C$ annetussa tasossa akselin kautta mutta ei kohtisuorasti akselia vastaan, on mahdollista löytää sylinteri, jonka akseli on $OC$, siten että ellipsi on sen leikkaus (eli löytää sylinterin ympyräleikkaukset, joiden akseli on $OC$ ja joiden pinta kulkee annetun ellipsin kehän kautta).
• Propositio 10. (1) Kaikki kartiosegmentit ovat keskenään samassa suhteessa kuin niiden pohjien ja korkeuksien suhteiden yhdistelmät.

(2) Mikä tahansa sylinterin katkaistu osa (frustum) on kolminkertainen siihen kartiosegmenttiin nähden, jolla on sama pohja kuin katkaistulla osalla ja yhtä suuri korkeus.

• Propositio 11. (1) Jos pyörähdysparaboloidi leikataan tasolla, joka kulkee akselin kautta tai on yhdensuuntainen akselin kanssa, leikkaus on paraabeli, joka on yhtäsuuri sen alkuperäisen paraabelin kanssa, jonka pyörähdys synnyttää paraboloidin. Leikkauksen akseli on leikkaavan tason ja paraboloidin akselin kautta kulkevan, leikkaustasoon nähden kohtisuoran tason leikkausjana. Jos paraboloidi leikataan tasolla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden, leikkaus on ympyrä, jonka keskipiste on akselilla.

(2) Jos pyörähdyshyperboloidi leikataan tasolla, joka kulkee akselin kautta, on yhdensuuntainen akselin kanssa tai kulkee keskipisteen kautta, leikkaus on hyperbeli: (a) akselin kautta kulkevassa tapauksessa yhtä suuri, (b) akselin suuntaisessa tapauksessa yhdenmuotoinen, (c) keskipisteen kautta kulkevassa tapauksessa ei-yhdenmuotoinen sen alkuperäisen hyperbelin kanssa, jonka pyörähdys synnyttää hyperboloidin. Leikkauksen akseli on leikkaavan tason ja hyperboloidin akselin kautta kulkevan, leikkaustasoon nähden kohtisuoran tason leikkausjana. Mikä tahansa leikkaus hyperboloidista tasolla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden, on ympyrä, jonka keskipiste on akselilla.

(3) Jos mikä tahansa sferoidi leikataan tasolla, joka kulkee akselin kautta tai on yhdensuuntainen akselin kanssa, leikkaus on ellipsi: (a) akselin kautta kulkevassa tapauksessa yhtä suuri, (b) akselin suuntaisessa tapauksessa yhdenmuotoinen sen ellipsin kanssa, jonka pyörähdys synnyttää kyseisen kappaleen. Leikkauksen akseli on leikkaavan tason ja sferoidin akselin kautta kulkevan, leikkaustasoon nähden kohtisuoran tason leikkausjana. Jos leikkaus tapahtuu tasolla, joka on kohtisuorassa sferoidin akseliin nähden, se on ympyrä, jonka keskipiste on akselilla.

(4) Jos jokin edellä mainituista kappaleista leikataan tasolla, joka kulkee akselin kautta, ja jos leikkaustasosta piirretään kohtisuora jana mistä tahansa kappaleen pinnan pisteestä, joka ei ole leikkauksessa, tämä kohtisuora jana osuu leikkauksen sisäpuolelle.

• Propositio 12. Jos pyörähdysparaboloidi leikataan tasolla, joka ei ole akselin suuntainen eikä sitä vastaan kohtisuora, ja jos akselin kautta kulkeva, leikkaustasoa vastaan kohtisuora taso leikkaa paraboloidin suorassa, jonka paraboloidin sisään jäävä osa on $RR'$, niin paraboloidin leikkaus on ellipsi, jonka isoakseli on $RR'$ ja jonka pikkuakseli on yhtä suuri kuin paraboloidin akselin suuntaisten, pisteiden $R$ ja $R'$ kautta kulkevien suorien välinen kohtisuora etäisyys.
• Propositiot 13, 14. Jos pyörähdyshyperboloidi leikataan tasolla, joka leikkaa kaikki ympäröivän kartion sivujanat, tai jos pitkänomainen sferoidi leikataan tasolla, joka ei ole kohtisuorassa akseliin nähden, ja jos akselin kautta kulkeva taso leikkaa leikkaustason suorassa kulmassa suorassa, jolle hyperboloidi tai sferoidi erottaa pituuden $RR'$, niin leikkaus on ellipsi, jonka isoakseli on $RR'$.
• Propositio 15. (1) Jos konoidin pinnan mistä tahansa pisteestä piirretään jana, paraboloidin tapauksessa akselin suuntainen ja hyperboloidin tapauksessa minkä tahansa ympäröivän kartion kärjen kautta kulkevan suoran suuntainen, suoran osa, joka on pinnan kuperuuden suuntaan, jää pinnan ulkopuolelle, ja vastakkainen osa pinnan sisäpuolelle.

(2) Jos taso sivuaa konoidia sitä leikkaamatta, se sivuaa sitä vain yhdessä pisteessä, ja kosketuspisteen ja konoidin akselin kautta kulkeva taso on kohtisuorassa sivuavaa tasoa vastaan.

• Propositio 16. (1) Jos taso sivuaa jotakin sferoidia sitä leikkaamatta, se sivuaa sitä vain yhdessä pisteessä, ja kosketuspisteen ja akselin kautta kulkeva taso on kohtisuorassa tangenttitasoa vastaan.

(2) Jos jokin konoidi tai sferoidi leikataan akselin kautta kulkevalla tasolla, ja jos minkä tahansa syntyvän kartioleikkauksen tangenttia pitkin pystytetään taso, joka on kohtisuorassa leikkaustasoa vastaan, tämä taso sivuaa konoidia tai sferoidia samassa pisteessä, jossa jana sivuaa kartioleikkausta.

(3) Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa sivuaa jotakin sferoidia, kosketuspisteet yhdistävä suora kulkee sferoidin keskipisteen kautta.

• Propositio 17. Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa sivuaa jotakin sferoidia ja toinen taso piirretään näille tangenttitasoille yhdensuuntaisena ja kulkemaan keskipisteen kautta, niin suora, joka piirretään minkä tahansa syntyvän leikkauksen kehän pisteen kautta tangenttitasojen kosketusjänteen suuntaisena, jää sferoidin ulkopuolelle.
• Propositio 18. Mikä tahansa sferoidi, joka leikataan keskipisteen kautta kulkevalla tasolla, jakautuu sekä pintansa että tilavuutensa osalta kahteen yhtä suureen osaan.
• Propositiot 19, 20. Kun annetaan pyörähdysparaboloidista tai -hyperboloidista tasolla irrotettu segmentti tai sferoidin segmentti, joka on pienempi kuin puolet sferoidista ja niin ikään tasolla irrotettu, on mahdollista piirtää segmentin sisään yksi avaruudellinen kappale ja sen ympärille toinen avaruudellinen kappale, jotka molemmat koostuvat yhtä korkeista sylintereistä tai sylinterien katkaistuista osista (frusta), siten että ympäröivän kappaleen tilavuus ylittää sisään piirretyn kappaleen tilavuuden vähemmällä kuin minkä tahansa annetun kappaleen tilavuus.
• Propositiot 21, 22. Mikä tahansa pyörähdysparaboloidin segmentti on puolitoistakertainen sen kartion tai kartion segmentin tilavuuteen nähden, jolla on sama pohja ja sama akseli.
• Propositio 23. Jos pyörähdysparaboloidista leikataan kaksi segmenttiä, toinen tasolla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden, ja toinen tasolla, joka ei ole kohtisuorassa akseliin nähden, ja jos segmenttien akselit ovat yhtä pitkät, segmenttien tilavuudet ovat yhtä suuret.
• Propositio 24. Jos pyörähdysparaboloidista leikataan kaksi segmenttiä millä tahansa tasoilla, segmentit ovat toisiinsa nähden samassa suhteessa kuin niiden akselien neliöt.
• Propositiot 25, 26. Missä tahansa pyörähdyshyperboloidissa, jos $A$ on kärki ja $AD$ minkä tahansa tasolla irrotetun segmentin akseli, ja jos $CA$ on hyperboloidin puolihalkaisija pisteen $A$ kautta ($CA$ on tällöin samalla suoralla kuin $AD$), niin

${\displaystyle {\text{(segmentti)$ : (kartio, jolla on sama pohja ja sama akseli)}}}

$=(AD+3CA):(AD+2CA).$

• Propositiot 27, 28, 29, 30. (1) Missä tahansa sferoidissa, jonka keskipiste on $C$, jos akselin leikkaava taso erottaa segmentin, joka ei ole suurempi kuin puolet sferoidista ja jonka kärki on $A$ ja akseli $AD$, ja jos $A'D$ on jäljelle jäävän sferoidin segmentin akseli, niin

${\displaystyle {\text{(ensimmäinen segmentti)$ : (kartio tai kartion segmentti, jolla on sama pohja ja sama akseli)}}}

$=CA+A'D:A'D$

$[=3CA-AD:2CA-AD].$

(2) Erityistapauksena, jos taso kulkee keskipisteen kautta siten, että segmentti on puolet sferoidista, puolet sferoidista on kaksinkertainen kartioon tai kartion segmenttiin nähden.

• Propositiot 31, 32. Jos taso jakaa sferoidin kahteen erisuuruiseen segmenttiin ja jos $AN$ ja $A'N$ ovat pienemmän ja suuremman segmentin akselit ja $C$ on sferoidin keskipiste, niin

${\displaystyle {\text{(suurempi segmentti)$ : (kartio tai kartion segmentti, jolla on sama pohja ja sama akseli)}}}

$=CA+AN:AN.$

Kirjallisuutta

• Archimedes: Conoids and Spheroids. Teoksessa Greek Mathematical Works, s. 164–. (Volume II: Aristarchus to Pappus. Translated by Ivor Thomas. Loeb Classical Library 362) Cambridge, MA: Harvard University Press, 1941. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)
• Archimedes: On Conoids and Spheroids. Teoksessa Heath, T. L. (toim.): The Works of Archimedes, s. 99–. Cambridge: Cambridge University Press, 1897. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)