Dodecaedro

Dodecaedros comunes
I_h, orden 120
Regular	Pequeño estrellado	Grande	Grande estrellado

T_h, orden 24	T, orden 12	O_h, orden 48	Johnson (J₈₄)
Piritoedro	Tetartoide	Rómbico	Triangular

D_4h, orden 16		D_3h, orden 12
Rombo hexagonal	Rombo cuadrado	Rombo trapecial	Rombo triangular

Un dodecaedro (del griego δωδεκαεδρον dōdekáedron, de δώδεκα dōdeka, ‘doce’ y ἕδρα edra; ‘cara’) es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina 'regular', siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Recientes investigaciones científicas han propuesto que el espacio dodecaédrico de Poincaré sería la forma del Universo^[1]^[2]^[3] y en el año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo.^[4]

Dodecaedro regular

Cálculo de dimensiones fundamentales

Radio externo: $r_{u}={\frac {\sqrt {6}}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 1.401258538\cdot a$
Radio interno: $r_{i}={\frac {a}{4}}{\sqrt {\frac {50+22{\sqrt {5}}}{5}}}\approx 1.113516364\cdot a$

En todo poliedro regular, el número de caras más el número de vértices, es igual al número de aristas más 2. Se conoce como característica de Euler, una propiedad topológica.

C+V=A+2\,

donde: C = número de caras; V = número de vértices; A = número de aristas

Área

El área total de las caras de un dodecaedro regular , A (que es 12 veces el área de una de ellas, A_c) es igual a:

A=12\cdot {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}\cdot a^{2}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}\approx 20,65\cdot a^{2}

,

También se puede con esta fórmula basada en parte en la trigonometría:

A={\frac {15l^{2}}{\tan 36^{o}}}

Volumen

Para un dodecaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen. V mediante la siguiente fórmula:

V={\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\cdot a^{3}\approx 7,66\cdot a^{3}

Ángulos diedros

Los ángulos entre cada par de caras son:

\alpha =180-\arccos \left(\tan {18}\times \tan {54}\right)=116,57^{o}

{\textstyle \alpha =2arctan[\varphi ]=116,565^{0}}

Propiedades particulares

Simetría

Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado I_h según la notación de Schöenflies.

El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del dodecaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.

Aplicaciones y ejemplos

En los juegos de rol el dado de doce caras es un dodecaedro regular. Su notación escrita es «D12», Se usan dodecaedros de Rubik y Calendarios Dodecaedros También es la forma más usual para la construcción de las fuentes sonoras omnidireccionales usadas para realizar ensayos acústicos de aislamiento a ruido aéreo.

Formas estrelladas regulares

De izquierda a derecha: pequeño dodecaedro estrellado, gran dodecaedro, gran dodecaedro estrellado

El dodecaedro regular tiene tres estelaciones, todos los cuales son dodecaedros estrellados regulares. Forman tres de los cuatro sólidos de Kepler–Poinsot. Son el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro y el gran dodecaedro estrellado.^[5] El pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro son duales entre sí; el gran dodecaedro estrellado es dual del gran icosaedro. Todos estos dodecaedros estrellados regulares tienen caras pentagonales regulares o pentagrámicas. El dodecaedro regular convexo y el gran dodecaedro estrellado son realizaciones diferentes del mismo poliedro regular abstracto; el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro son realizaciones diferentes de otro poliedro regular abstracto.

Si bien las tres formas estrelladas cumplen con los requisitos de regularidad y tienen doce caras, y por lo tanto cualquiera de ellas podría denominarse dodecaedro regular, este término específico se reserva exclusivamente para la primera forma, la convexa. Una quinta forma que podría clasificarse como dodecaedro regular, a saber, el hosoedro dodecagonal, tampoco recibe ese nombre, en parte porque solo existe como poliedro esférico y es una forma degenerada en el espacio euclídeo.

Otros dodecaedros pentagonales

En cristalografía, dos dodecaedros importantes pueden aparecer como formas cristalinas en algunas clases de simetría del sistema cristalino cúbico que son topológicamente equivalentes al dodecaedro regular, pero menos simétricos: el piritoedro con simetría tetraédrica y el dodecaedro con simetría tetraédrica.

Piritoedro

Un piritoedro (o dodecaedro pentagonal) es un dodecaedro con simetría piritoédrica T_h. Al igual que el dodecaedro regular, tiene doce caras pentagonales idénticas, con tríos de ellas que convergen en cada uno de los 20 vértices. Sin embargo, los pentágonos no están obligados a ser regulares, y la disposición atómica subyacente no tiene un verdadero eje de simetría quíntuple. Sus 30 aristas se dividen en dos conjuntos, que contienen 24 y 6 aristas de la misma longitud. Los únicos ejes de simetría rotacional son tres ejes binarios mutuamente perpendiculares y cuatro ejes ternarios.^[6]

Aunque los dodecaedros regulares no existen en los cristales, la forma del piritoedro aparece en los cristales del mineral pirita,^[6] que pudo ser una inspiración para el descubrimiento de la forma regular que forma parte de los sólidos platónicos.^[7] El verdadero dodecaedro regular puede aparecer como una forma de cuasicristal (como el cuasicristal de holmio-magnesio-zinc) con simetría icosaédrica, que incluye ejes de rotación quíntuples verdaderos.^[8]

Pirita cristalina

El nombre pirita cristalina proviene de uno de los dos hábitos cristalinos comunes mostrados por la pirita (el otro es el cubo). En la pirita piritoédrica, las caras tienen un índice de Miller de (210), lo que significa que el ángulo diedro es 2·arctan(2) ≈ 126,87° y cada cara pentagonal tiene un ángulo de aproximadamente 121,6° entre dos ángulos de aproximadamente 106,6° y opuesto a dos ángulos de aproximadamente 102,6°. Las siguientes fórmulas muestran las medidas de la cara de un cristal perfecto (que rara vez se encuentra en la naturaleza).

{\text{Altura}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{Lado largo}}

{\text{Ancho}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{Lado largo}}

{\text{Lado corto}}={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot {\text{Lado largo}}

Pirita natural (con los ángulos de la cara a la derecha)

Coordenadas cartesianas

Los ocho vértices de un cubo tienen las coordenadas (±1, ±1, ±1).

Las coordenadas de los 12 vértices adicionales son:

(0, ±(1 + h), ±(1 - h²)),
(±(1 + h), ±(1 - h²), 0) y
(±(1 - h²), 0, ±(1 + h)).

h es la altura de la cuña de "techo" situada sobre las caras de ese cubo con arista de longitud 2.

Un caso importante es h = 1/2 (un cuarto de la longitud de la arista del cubo) para la pirita natural perfecta (también el piritoedro en la estructura de Weaire-Phelan).

Otro caso es h = 1/φ = 0,618... para el dodecaedro regular. Véase la sección libertad geométrica para otros casos.

Dos piritoedros con coordenadas no nulas intercambiadas se encuentran en posiciones duales entre sí, al igual que los dodecaedros en el compuesto de dos dodecaedros.

Proyecciones ortográficas del piritoedro con h= 1/2

Alturas 1/2 y 1/φ

El cuerpo del dodecaedro también puede describirse como la intersección de doce semiplanos:

\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \|(x,y,z)\|_{D}\leq 1\}

donde:

\|(x,y,z)\|_{D}=\max {\Big \{}|\alpha x+\beta z|,\ |\alpha x-\beta z|,\ |\alpha y+\beta x|,\ |\alpha y-\beta x|,\ |\alpha z+\beta y|,\ |\alpha z-\beta y|{\Big \}}

y

$\alpha ={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \beta ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\frac {1}{\varphi }}.$

Animaciones

Panal de piritoedros convexos y cóncavos alternados con alturas entre ±1/φ	Alturas entre 0 (cubo) y 1 (rombododecaedro)

Libertad geométrica

El piritoedro posee un grado de libertad geométrica con casos límite de una envolvente convexa cúbica límite de aristas colineales, y un rombododecaedro como otro límite cuando 6 aristas se reducen a longitud cero. El dodecaedro regular representa un caso intermedio especial donde todas las aristas y ángulos son iguales.

Es posible ir más allá de estos casos límite, creando piritoedros cóncavos o no convexos. El endododecaedro es cóncavo y equilátero; y puede teselar el espacio con el dodecaedro regular convexo. Continuando desde allí en esa dirección, se llega a un caso degenerado donde doce vértices coinciden en el centro. El gran dodecaedro estrellado regular es un caso en el que todas las aristas y ángulos son iguales nuevamente, y las caras se han deformado hasta convertirse en pentagramas regulares. Por otro lado, más allá del dodecaedro rómbico, se obtiene un dodecaedro equilátero no convexo con caras pentagonales equiláteras con forma de pez que se autointersecan.

Casos especiales del piritoedro
Las versiones con valores absolutos iguales y signos opuestos forman juntas un panal. (Compárese con esta animación.) La relación mostrada es la de las longitudes de las aristas, concretamente las de un conjunto de 24 (que tocan los vértices del cubo) con respecto a las de un conjunto de 6 (que corresponden a las caras del cubo).
Relación	1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
h	−√5 + 1/2	−1	−√5 + 1/2	0	√5 − 1/2	1	√5 + 1/2
h	−1.618...	−1	−0.618...	0	0.618...	1	1.618...
Imagen	Estrella regular, gran dodecaedro estrellado, con caras en forma de estrella pentagonal regular	Forma degenerada, con 12 vértices en el centro	El dodecaedro equilátero cóncavo, llamado endododecaedro	Un cubo se puede dividir en un piritoedro bisecando todas las aristas y caras en direcciones alternas	Un dodecaedro regular es un caso intermedio con aristas de igual longitud	Un rombododecaedro es un caso degenerado con los 6 aristas reducidas a longitud cero	Dodecaedro equilátero que se autointerseca

Tetartoide

Un tetartoide (también dodecaedro pentagonal tetragonal, tritetraedro pentagonal y dodecaedro pentagonal tetraédrico) es un dodecaedro con simetría tetraédrica quiral (T). Al igual que el dodecaedro regular, tiene doce caras pentagonales idénticas, con tres que convergen en cada uno de los 20 vértices. Sin embargo, los pentágonos no son regulares y la figura carece de ejes de simetría quíntuple.

Aunque los dodecaedros regulares no existen en los cristales, sí existe la forma tetartoide. El nombre tetartoide proviene de la raíz griega que significa un cuarto, ya que posee un cuarto de simetría octaédrica completa y la mitad de la simetría piritoédrica.^[9] El mineral cobaltita puede presentar esta forma de simetría.^[10]

Se pueden crear abstracciones que comparten la simetría y la estructura topológca del sólido a partir del cubo y del tetraedro. En el cubo, cada cara está bisecada por una arista inclinada. En el tetraedro, cada arista está trisecada y cada uno de los nuevos vértices se conecta al centro de una cara. En la notación de poliedros de Conway, esto corresponde a un girotetraedro.

Proyecciones ortográficas desde ejes de simetría de orden 2 y 3

Formas cúbica y tetraédrica

Relación con el diaquisdodecaedro

Un tetartoide se puede crear ampliando 12 de las 24 caras de un diaquisdodecaedro. El tetartoide que se muestra aquí se basa en uno que a su vez se crea ampliando 24 de las 48 caras del hexaquisoctaedro.

Tetartoides quirales basados en el diaquisdodecaedro en el centro

El modelo de cristal de la derecha muestra un tetartoide creado al ampliar las caras azules del núcleo diaquisdodecaédrico. Por lo tanto, los bordes entre las caras azules están cubiertos por los bordes rojos de la estructura alámbrica.

Coordenadas cartesianas

Los siguientes puntos son vértices de un pentágono tetartoide bajo simetría tetraédrica:

(a, b, c); (-a, -b, c); (-nd₁, -nd₁, nd₁); (-c, -a, b); (-nd₂, nd₂, nd₂),

bajo las siguientes condiciones:^[11]

0 ≤ a ≤ b ≤ c,

n = a²c - bc²,

d₁ = a² - ab + b² + ac - 2bc,

d₂ = a² + ab + b² - ac - 2bc,

nd₁d₂ ≠ 0.

Libertad geométrica

Libertad métrica

El dodecaedro regular es un tetartoide con simetría superior a la requerida. El triaquistetraedro es un caso degenerado con 12 aristas de longitud cero. En términos de los colores utilizados anteriormente, esto significa que los vértices blancos y las aristas verdes son absorbidos por los vértices verdes.