Hauptnenner

Beim Rechnen mit Brüchen in der Arithmetik, einem Teilgebiet der Mathematik, versteht man unter dem Hauptnenner oder Generalnenner mehrerer Brüche das kleinste gemeinsame Vielfache (${\rm {kgV}}$) der Nenner dieser Brüche. Es handelt sich somit um den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche.

Der Hauptnenner findet vor allem Anwendung bei der Addition und Subtraktion sowie dem Größenvergleich von Brüchen. Dazu werden die beteiligten Brüche nämlich zunächst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Hierbei bietet sich der Hauptnenner an, da er im Vergleich zu anderen gemeinsamen Nennern die kleinstmöglichen Zahlenwerte liefert, was oftmals die weitere Rechnung vereinfacht. Diesem Vorteil steht jedoch gegebenenfalls der erhöhte Aufwand entgegen, den das Bestimmen des ${\rm {kgV}}$ – im Gegensatz zum einfachen Multiplizieren der Nenner miteinander – mit sich bringt.

Beispiele

Addition und Subtraktion

Zur Addition der Brüche ${\tfrac {5}{6}}$, ${\tfrac {3}{4}}$ und ${\tfrac {4}{5}}$ ermittelt man zunächst den Hauptnenner als das kleinste gemeinsame Vielfache von 6, 4 und 5. Da dies 60 ist, werden die drei Brüche jeweils auf Sechzigstel erweitert und lassen sich im Anschluss sofort addieren:

${\frac {5}{6}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {4}{5}}={\frac {50}{60}}+{\frac {45}{60}}+{\frac {48}{60}}={\frac {143}{60}}$

Größenvergleich

Zum Vergleich von ungleichnamigen Brüchen werden diese typischerweise zunächst gleichnamig gemacht, wobei sich der Hauptnenner anbietet. Um beispielsweise festzustellen, ob ${\tfrac {5}{8}}$ größer, kleiner oder gleich ${\tfrac {11}{18}}$ ist, bringt man sie auf den Hauptnenner $\operatorname {kgV} (8,18)=72$. Im Anschluss lässt sich direkt durch einen Vergleich der Zähler ablesen, welcher Bruch größer ist (oder ob beide gleich groß sind):

${\frac {5}{8}}={\frac {45}{72}}>{\frac {44}{72}}={\frac {11}{18}}.$