@kamenrider 可以看到前文非平均律的5（五声音阶）、7（七声音阶）、12（纯律）都出现在这里
听说哪些逼近得好可以用连分数来证

MOS 音阶（数学细节）与半收敛子（？）

对于微分音界或是律学界而言，基础常识恐怕是规则调律理论（RTT）了。本人这些天发布的两个微分音作品翻奏影片也是出于展示 RTT 的需要。
[attachment:6a18e525a21d3]
另外推荐：
为什么「微分音」也可以好听——「异律手册」第一卷 西方历史调律及其沿革拾遗
虽说这个系列省去了很多技术细节。

@ixnij 关于“原函数和导函数周期性一样”这一点该怎么较严格的说明？

用链式法则应该很容易得出罢？

倒就怕是冰山一角，会不会掀起人人自查的现象呢。

@Ishisashi 经检验，这里只有三种情况。
经检验，这里只有一种情况。
经检验，这里只有一种情况。

可以注意到，筛选工作可以用一楼给出的结论快速完成。例如，直接令 \(f(0)=0\) 并令 \(f'(0)=1\) 就可得到 \(f(0)=0\) 的解，而 \(f(0)\ne0\) 的解在一楼已经算出来了。

回到作为背景的那道高中题，考虑到函数至少在两处的值非零，由奇偶性（奇函数）及单调性（并不单调递增）立刻可以推得只能是 \(f(x)=C\sin\dfrac{x}{C}\) 这种情况。结合条件可以解出 \(f(x)=\dfrac{3}{2n\pi}\sin\dfrac{2n\pi x}{3}\)（其中 \(n\in\mathbb{Z}\land n\operatorname{mod}3\ne0\)）。

那我就依此改订。
情形二：\(\exists x(x\in\mathbb{R}\land f(x)\ne0)\)
设 \(x_0\in\{x|x\in\mathbb{R}\land f(x)\ne0\}\)，则 \(f(x+x_0)=f(x)f'(x_0)+f'(x)f(x_0)\)。
\(f'(x)=\dfrac{f(x+x_0)-f'(x_0)f(x)}{f(x_0)}\)
于是显见，\(f\) 存在 \(\mathbb{R}\) 上的二阶导函数 \(f''=x\mapsto\dfrac{d^2f(x)}{dx^2}\)：
\(f''(x)=\dfrac{f'(x+x_0)-f'(x_0)f'(x)}{f(x_0)}\)
对 \(f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)\) 一式两侧求关于 \(x\) 的偏导数：
\(f'(x+y)=f'(x)f'(y)+f''(x)f(y)\)
以及关于 \(y\) 的偏导数：
\(f'(x+y)=f(x)f''(y)+f'(x)f'(y)\)
对比两式。
\(f''(x)f(y)=f(x)f''(y)\)
因而有 \(f''(x)=\dfrac{f''(x_0)}{f(x_0)}f(x)\)。
\(\dfrac{f''(x_0)}{f(x_0)}>0\) 时，\(f=x\mapsto C_1e^{\sqrt{\frac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x}+C_2e^{-\sqrt{\frac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x}\)（其中 \(C_1\in\mathbb{R}\land C_2\in\mathbb{R}\)）。
经检验，这里只有三种情况。
\(f=x\mapsto\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{f(x_0)}{f''(x_0)}}e^{\sqrt{\frac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x}\)
\(f=x\mapsto-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{f(x_0)}{f''(x_0)}}e^{-\sqrt{\frac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x}\)
\(f=x\mapsto\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{f(x_0)}{f''(x_0)}}e^{\sqrt{\frac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{f(x_0)}{f''(x_0)}}e^{-\sqrt{\frac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x}\)
\(\dfrac{f''(x_0)}{f(x_0)}=0\) 时，\(f=x\mapsto C_1x+C_2\)（其中 \(C_1\in\mathbb{R}\land C_2\in\mathbb{R}\)）。
经检验，这里只有一种情况。
\(f=x\mapsto x\)
\(\dfrac{f''(x_0)}{f(x_0)}<0\) 时，\(f=x\mapsto C_1\cos\sqrt{-\dfrac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x+C_2\sin\sqrt{-\dfrac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x\)（其中 \(C_1\in\mathbb{R}\land C_2\in\mathbb{R}\)）。
经检验，这里只有一种情况。
\(f=x\mapsto\sqrt{-\dfrac{f(x_0)}{f''(x_0)}}\sin\sqrt{-\dfrac{f''(x_0)}{f(x_0)}}x\)
综上所述，$f$ 的全部解如下。
\(f=x\mapsto 0\)（平凡情形）
\(f=x\mapsto x\)（恒等函数）
\(f=x\mapsto C\sin\dfrac{x}{C}\)（其中 \(C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)）（正弦等比缩放）
\(f=x\mapsto C\sinh\dfrac{x}{C}\)（其中 \(C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)）（双曲正弦等比缩放）
\(f=x\mapsto Ce^{\frac{x}{2C}}\)（其中 \(C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)）（指数倍宽缩放）
值得注意的是前面四种都是奇函数。

这个问题的背景：
[attachment:65eb2dc314aac]
当然我只是好奇方程怎么解，要解决这个题目并不需要这么做。

已知函数 \(f\) 及其导函数 \(f'\) 满足如下条件：
\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)
\(f'=x\mapsto\dfrac{df(x)}{dx}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)
\(\forall x\forall y((x\in\mathbb{R}\land y\in\mathbb{R})\Rightarrow f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y))\)
试求出 \(f\) 的全部解。
情形一：\(\forall x(x\in\mathbb{R}\Rightarrow f(x)=0)\)
检验：
\(f(x)=0\)
\(f(y)=0\)
\(f'(x)=0\)
\(f'(y)=0\)
\(f(x+y)=0=0^2+0^2=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)\)
因而 \(f=x\mapsto0\) 就是这种情况的解，相当平凡。
情形二：\(f(0)\ne0\)
\(f(0)=f(0+0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)=2f(0)f'(0)\)
\(f'(0)=\dfrac{f(0)}{2f(0)}=\dfrac{1}{2}\)
\(f(x)=f(x+0)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)=\dfrac{1}{2}f(x)+f(0)f'(x)\)
\(f'(x)=\dfrac{1}{2f(0)}f(x)\)
\(f(x)=f(0)e^\frac{x}{2f(0)}\)
检验：
\(f(x)=f(0)e^\frac{x}{2f(0)}\)
\(f(y)=f(0)e^\frac{y}{2f(0)}\)
\(f'(x)=\dfrac{1}{2}e^\frac{x}{2f(0)}\)
\(f'(y)=\dfrac{1}{2}e^\frac{y}{2f(0)}\)
\(f(x+y)=f(0)e^\frac{x+y}{2f(0)}=\dfrac{f(0)}{2}e^\frac{x}{2f(0)}e^\frac{y}{2f(0)}+\dfrac{f(0)}{2}e^\frac{x}{2f(0)}e^\frac{y}{2f(0)}=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)\)
因而 \(f=x\mapsto Ce^\frac{x}{2C}\)（其中 \(C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)）就是这种情况的解。
情形三：\(\exists x(x\in\mathbb{R}\land f(x)\ne0)\land f(0)=0\)
设 \(x_0\in\{x|x\in\mathbb{R}\land f(x)\ne0\}\)，则 \(f(x_0)=f(x_0+0)=f(x_0)f'(0)+f'(x_0)f(0)=f(x_0)f'(0)\)。
\(f'(0)=\dfrac{f(x_0)}{f(x_0)}=1\)
然后我就不知道更多信息了……

@otiopiscis 十进制数 $n\in\mathbb{N}$

自然数本身和进制没甚么关系，直接说自然数就是了。