1.数学解释
这是一个很常见，但是其准确含义非常难以澄清的事情，即很多人看完一个数学事实，甚至验证过整个证明流程之后依然会疑惑：“这件事的解释是什么？”
如果另一个人没有对此产生困惑，那么这件事几乎无法交流。因为证明就是一个字面意义上的解释，你到底在寻求什么？
一种解读（ @Toy Box 提供）认为，寻求某个解释实际上只是寻找一个当事人自己最熟悉的证明路线，因此不同人会对不同的叙事表示满意，这其中并不存在一个绝对的解释。
我认同不同人基于自己的知识背景，对什么样的解释满意可能是比较个人化的事情，但是我本人并不完全认同这种解读，我认为客观上
“做一个解释”就是比“陈述一个证明”提供了更多的信息，因此才能安抚一部分人的需求。
我本人有一个很典型的经历，正好适合作为例子：https://chaoli.club
——时隔十年再看，这个帖子正文写的比较啰嗦，当时我对于“什么是解释”的陈述也非常凌乱，我在这重述一下核心内容。
长话短说，这个问题的“疑惑”是为什么傅里叶系数余弦项对于第0项有一个额外的$1/2$因子。
直接按照定义计算的话，答案是内积积分$(\cos kx,\cos kx)=1+\frac{\sin 4k\pi}{4k\pi}=1+\mathrm{sinc}(4k\pi)$
仅在$k=0$时为2（可去奇点），对其他整数为1。
我认为这不是一个“可接受的解释”（以下称之为解释1），然后我自己最后满意于下面这个回答：
如果我们使用e指数而不是三角函数在复数域进行傅里叶展开，那么所有系数表达式是统一的。
同时，余弦项来自于两个正负频的e指数$\pm k$项的复合。
因此，答案揭晓（以下称之为解释2）：0没有相反数，所以零频率项天然比其他频率少一半。
@Toy Box 的观点是，这两个解答并没有什么差异，我之所以满足于第二个是因为数数要比算积分更简单。或者说用冯诺依曼的话说“你还没有适应数学”。
原帖 @海龙 也做了类似的意见，他觉得第一个解答已经很简洁了，“一个可去奇点的解释听起来就很有道理了，为什么胖鱼对这一解释并不那么满意呢？”。
我当时没有想到很好的解答方式，最后写了一份很长的关于数学认知的长篇大论。现在我觉得可以有一个相对比较简单的解答方式。
考虑两个命题：
A:傅里叶余弦系数的对$k\neq0$时是$a_k=(\cos kx,f)$，$k=0$时是$a_k=\frac{1}{2}(\cos kx,f)$
B:对方程$|x|=k$,$k=0$时其解的数量是$k\neq0$时解数量的$1/2$
那么解释2给出了由命题B推出命题A的推理关联。而第一个解答完全可以在绕开命题B的情况下得到结果，我们说第二个给出了一些全新的命题间依赖关系。
——一种颇为丑陋但是具有统一格式的公式写法是$a_k=\frac{\#\{x|k=|x|\}}{2}(\cos kx,f)$,其中#表示集合的大小。
解释1是我们在实数域推导傅里叶系数的归一化必然要做的积分，因此我们只是得到了命题A这个“现象”。用“积分就是这么算的”并不算回答，因为他不提供任何未知的新推理关系，一切需要用积分得到A的命题都已经在推出命题A的过程中出现过了。
因此，解释2就提供了一个全新的推理关联B→A。这是客观上新的信息。B此前没有也不出现在解释1的推理链中。
当然，很多时候这个客观信息并不能安抚其他人，这一步可能是个人倾向发挥效用的地方。
——客观上，我们完全可以把0频率项的内积不写成$\cos kx$的形式，直接写成$(1,1)=2$，连$\rm{sinc}$函数都不出现，这个我们称之为解释0，毫无疑问解释1还是在某种程度上提供了关于$\rm{sinc}$函数的新结果，所以也是一个解释，在这个角度他让我不满的原因是这条推理链和原来的推理链重合内容太多了，作为一个解释没有提供“足够不同”的推理链。而解释0本身是一个问题，因此这还是太像用问题本身回答问题了。
用“找到一个新命题与原始陈述的推理链”来描述“数学事实的解释”，大概能较好的刻划很多人寻求解释的行为。事实上，许多时候数学家说的“解释”往往是对某些很简单的初等陈述，引用颇为深奥的抽象结构或者复杂构造来解释，甚至他们会寻找到一些从没见过因此不可能熟悉的新构造。这无法视为“转换到自己熟悉的领域”。用我的这种解读来说的话，原因是这些构造在制造多样化的推理链方面功能非常强大，可以把大量此前看起来无关的命题关联起来，因此更被描述为一种“解释”。
2.数学巧合
数学巧合能够用类似的视角解读吗？因为回答数学上什么是一个巧合很困难。我们并没有随机生成一个公理集，那“偶然事件”似乎并没有意义。一种策略是给命题赋予一些参数，通过观察这些参数的调整来模拟一个随机变量的集合，不过并不是每种命题都能找到合适的变量来分析。也许另一种策略就是查看他有多少不同的论证路线与不同的命题关联来推断，关联越多这个命题看起来就越不像是巧合。反之，如果命题 A, B, C, D, E…………都能经由基本无关的推理链给出同一个结果Z，那么不管Z是不是巧合，单个命题A看起来都有点偶然，或者至少不那么必然。
——一种案例是组合命题，很多陈述比较宽泛的组合命题都可以得到大量完全不同的构造，那么这些构造中的每一个“恰好存在”都无法让人感觉到多么“巧合”，因为即使他不存在其实也没什么大不了的。
——有一个数学笑话：“$0\times1=0$的本质是哪个？0乘以任何数都等于0，还是1乘以任何数都等于原数？”
这个笑话非常浅显的说明了为什么有些命题似乎有多种无关的成立原因。更抽象的描述应该被视为一种更广泛的描述而不是针对单个命题的“底层本质”。很多命题其实生活在许多不同的奇迹与魔法的交界之处。
3.反数学解释
另一个数学笑话：
有位中国数学家去法国访问，问一个小学生，3+4等于几啊？
法国小学生说：“不知道，但我知道3+4等于4+3.”
中国数学家说：“知道这个也很好啊，那你知道为什么吗？”
法国小学生说：“因为整数加法构成了阿贝尔群。”
这个笑话传统上是讽刺某些试图过早引入抽象概念的教育尝试，这只会让学生瞎背一堆名词，完全不理解更不会计算。（一个不那么笑话的严肃批评可见法国数学家迪厄多内《无穷小计算》的前言，他批评的是大学生和当时过于抽象的数学教学设计）
但是这个笑话其实还有一个隐藏笑点，那就是，原则上，你得先得出结论说整数加法有交换律，然后才能说整数加法构成阿贝尔群。因为阿贝尔群的定义条件就是群运算具备交换律。
所以，阿贝尔群不只是作为解释过于抽象的问题，而是在推理顺序上就不能作为一个解释。
——一种绕开这个矛盾的潜在策略是证明整数加法与某个已知是阿贝尔群的群和其运算同构，从而自动得到交换律，考虑到整数加法的基础性，很难想象要怎么构造这么一种崎岖的推理链，不过如果真有这种外星数学我还挺想开开眼的。我有限的数学知识里，唯一一个类似的（具备合理性的）案例是椭圆曲线的加法群。直接根据其定义检验这个加法是不是满足结合律从而成群，将会是疯狂的代数爆算，更符合人类认知的证明路线是构造一个容易验证群结构的新群，然后再建立二者间的同构使其自动满足结合律。
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