Tensor d'elasticitat

Mecànica dels medis continus
Lleis Conservació de la massa Conservació de la quantitat de moviment Conservació de l'energia Desigualtat de l'entropia
Mecànica dels sòlids Sòlids Tensió Deformació Compatibilitat Elasticitat lineal Plasticitat Flexió Llei de Hooke Teories de falla Mecànica de la fractura Mecànica de contacte sense fricció amb fricció
Mecànica dels fluids Fluids Hidroestàtica Dinàmica de fluids Equacions de Navier-Stokes Principi de Bernoulli Flotabilitat Viscositat newtonians no newtonians Principi d'Arquimedes Principi de Pascal Pressió Líquids Tensió superficial Capil·laritat Gasos Atmosfera Llei de Boyle Llei de Charles Llei de Gay-Lussac Plasma
Reologia Viscoelasticitat Fluid intel·ligent magnetoreològic electroreològic ferrofluid Reometria Reòmetre
Científics Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes

El tensor d'elasticitat és un tensor de quart rang que descriu la relació tensió-deformació en un material elàstic lineal. Altres noms són tensor de mòdul elàstic i tensor de rigidesa. Els símbols comuns inclouen $\mathbf {C}$ i $\mathbf {Y}$.

L'equació definidora es pot escriure com

$T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}$

on $T^{ij}$ i $E_{kl}$ són els components del tensor de tensió de Cauchy i del tensor de deformació infinitesimal, i $C^{ijkl}$ són els components del tensor d'elasticitat. La suma sobre índexs repetits està implícita. Aquesta relació es pot interpretar com una generalització de la llei de Hooke a un continu 3D.

Un tensor general de quart rang $\mathbf {F}$ en 3D té 3⁴ = 81 components independents $F_{ijkl}$, però el tensor d'elasticitat té com a màxim 21 components independents. Aquest fet es desprèn de la simetria dels tensors de tensió i deformació, juntament amb el requisit que la tensió derivi d'un potencial d'energia elàstica. Per a materials isotròpics, el tensor d'elasticitat només té dos components independents, que es poden triar com a mòdul volumètric i mòdul de cisallament.

Definició

La relació lineal més general entre dos tensors de segon rang $\mathbf {T} ,\mathbf {E}$ és

$T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}$

on $C^{ijkl}$ són els components d'un tensor de quart rang $\mathbf {C}$. El tensor d'elasticitat es defineix com $\mathbf {C}$ per al cas en què $\mathbf {T}$ i $\mathbf {E}$ són els tensors de tensió i deformació, respectivament.

El tensor de compliment $\mathbf {K}$ es defineix a partir de la relació inversa tensió-deformació:

$E^{ij}=K^{ijkl}T_{kl}$

Els dos estan relacionats per

$K_{ijpq}C^{pqkl}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{i}^{k}\delta _{j}^{l}+\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{k}\right)$

on $\delta _{n}^{m}$ és el delta de Kronecker.

Si no s'indica el contrari, aquest article assumeix $\mathbf {C}$ es defineix a partir de la relació tensió-deformació d'un material elàstic lineal, en el límit de petita deformació.

Casos especials

Isòtrop

Per a un material isotròpic, $\mathbf {C}$ simplifica a

$C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)$

on $\lambda$ i $\mu$ són funcions escalars de les coordenades del material $X$, i $\mathbf {g}$ és el tensor mètric en el marc de referència del material. En una base de coordenades cartesianes ortonormals, no hi ha distinció entre els índexs superior i inferior, i el tensor mètric es pot substituir pel delta de Kronecker:

$C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}$

Substituint la primera equació a la relació tensió-deformació i sumant sobre índexs repetits s'obté

$T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}$

on $\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}$ és el rastre de $\mathbf {E}$ En aquesta forma, $\mu$ i $\lambda$ es pot identificar amb el primer i segon paràmetres de Lamé. Una expressió equivalent és

$T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}$

on $K=\lambda +(2/3)\mu$ és el mòdul de compressió, i

$\Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}$

són els components del tensor de cisallament $\mathbf {\Sigma }$.

Cristalls cúbics

El tensor d'elasticitat d'un cristall cúbic té components

${\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}$

on $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, i $\mathbf {c}$ són vectors unitaris corresponents als tres eixos mútuament perpendiculars de la cel·la unitària cristal·lina. Els coeficients $\lambda$, $\mu$, i $\alpha$ són escalars; com que són independents de les coordenades, són constants materials intrínseques. Per tant, un cristall amb simetria cúbica es descriu mitjançant tres constants elàstiques independents.

En una base de coordenades cartesianes ortonormals, no hi ha distinció entre els índexs superior i inferior, i $g^{ij}$ és el delta de Kronecker, de manera que l'expressió es simplifica a

${\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}$

Altres classes de cristalls

Hi ha expressions similars per als components de $\mathbf {C}$ en altres classes de simetria cristal·lina. El nombre de constants elàstiques independents per a diverses d'aquestes es mostra a la taula 1.

Taula 1: Nombre de constants elàstiques independents per a diverses classes de simetria cristal·lina.

Família de cristalls	Grup de punts	components independents
Triclínica		21
Monoclínica		13
Ortorròmbic		9
Tetragonal	C4 , S4 , C4h	7
Tetragonal	C- 4v, D- 2d, D- 4, D- 4h	6
Romboèdric	C3 , S6	7
Romboèdric	C 3v, D 6, D 3d	6
Hexagonal		5
Cúbic		3

Propietats

Simetries

El tensor d'elasticitat té diverses simetries que es deriven directament de la seva equació definidora $T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}$ La simetria dels tensors de tensió i deformació implica que

$C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},$

Normalment, també se suposa que la tensió deriva d'un potencial d'energia elàstica $U$ :

$T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}$

cosa que implica

$C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}$

Per tant, $\mathbf {C}$ ha de ser simètric sota l'intercanvi del primer i segon parell d'índexs:

$C_{ijkl}=C_{klij}$

Les simetries enumerades anteriorment redueixen el nombre de components independents de 81 a 21. Si un material té simetries addicionals, aquest nombre es redueix encara més.

Transformacions

En rotació, els components $C^{ijkl}$ transformar com a

$C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}$

on $C'_{ijkl}$ són els components covariants de la base girada, i $R_{ij}$ són els elements de la matriu de rotació corresponent. Una regla de transformació similar s'aplica a altres transformacions lineals.

Invariants

Els components de $\mathbf {C}$ generalment adquireixen valors diferents sota un canvi de base. No obstant això, per a certs tipus de transformacions, hi ha combinacions específiques de components, anomenades invariants, que romanen sense canvis. Els invariants es defineixen respecte a un conjunt determinat de transformacions, formalment conegut com a operació de grup. Per exemple, un invariant respecte al grup de transformacions ortogonals pròpies, anomenat SO(3), és una quantitat que roman constant sota rotacions 3D arbitràries.

$\mathbf {C}$ possesses two linear invariants and seven quadratic invariants with respect to SO(3). The linear invariants are

${\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}$

i els invariants quadràtics són

$\left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}$

Aquestes quantitats són linealment independents, és a dir, cap es pot expressar com una combinació lineal de les altres. També són completes, en el sentit que no hi ha invariants lineals o quadràtics independents addicionals.

Descomposicions

Una estratègia comuna en l'anàlisi tensorial és descompondre un tensor en components més simples que es poden analitzar per separat. Per exemple, el tensor del gradient de desplaçament $\mathbf {W} =\mathbf {\nabla } \mathbf {\xi }$ es pot descompondre com

$\mathbf {W} ={\frac {1}{3}}\Theta \mathbf {g} +\mathbf {\Sigma } +\mathbf {R}$

on $\Theta$ és un tensor de rang 0 (un escalar), igual a la traça de $\mathbf {W}$ ; $\mathbf {\Sigma }$ és simètric i sense traces; i $\mathbf {R}$ és antisimètric. Component a component,

${\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji}\right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{[ij]}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}$

Aquí i més endavant, la simetrització i l'antisimetrització es denoten per $(ij)$ i $[ij]$, respectivament. Aquesta descomposició és irreductible, en el sentit de ser invariant sota rotacions, i és una eina important en el desenvolupament conceptual de la mecànica del continu.

El tensor d'elasticitat té rang 4, i les seves descomposicions són més complexes i variades que les d'un tensor de rang 2. A continuació es descriuen alguns exemples.

Tensors M i N

Aquesta descomposició s'obté per simetrització i antisimetrització dels dos índexs centrals:

$C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}$

on

${\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}$

Un inconvenient d'aquesta descomposició és que $M^{ijkl}$ i $N^{ijkl}$ no obeeixen totes les simetries originals de $C^{ijkl}$, ja que no són simètrics sota l'intercanvi dels dos primers índexs. A més, no és irreductible, per tant no és invariant sota transformacions lineals com ara rotacions.

Representacions irreductibles

Es pot construir una representació irreductible considerant la noció d'un tensor totalment simètric, que és invariant sota l'intercanvi de dos índexs qualssevol. Un tensor totalment simètric $\mathbf {S}$ es pot construir a partir de $\mathbf {C}$ sumant-ho tot $4!=24$ permutacions dels índexs

${\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}$

on $\mathbb {S} _{4}$ és el conjunt de totes les permutacions dels quatre índexs. A causa de les simetries de $C^{ijkl}$, aquesta suma es redueix a

$S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)$

La diferència

$A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)$

és un tensor asimètric ( no antisimètric). La descomposició $C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}$ es pot demostrar que és únic i irreductible respecte a $\mathbb {S} _{4}$ En altres paraules, qualsevol operació de simetrització addicional sobre $\mathbf {S}$ o $\mathbf {A}$ o bé el deixarà sense canvis o bé avaluarà a zero. També és irreductible respecte a transformacions lineals arbitràries, és a dir, el grup lineal general $G(3,\mathbb {R} )$

Tanmateix, aquesta descomposició no és irreductible respecte al grup de rotacions SO(3). En canvi, $\mathbf {S}$ es descompon en tres parts irreductibles, i $\mathbf {A}$ en dos:

${\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}$

Vegeu Itin (2020) per a expressions explícites en termes dels components de $\mathbf {C}$.

Aquesta representació descompon l'espai dels tensors d'elasticitat en una suma directa de subespais:

${\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)$

amb dimensions

$21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)$

Aquests subespais són isomorfs a un espai tensorial harmònic $\mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})$ Aquí, $\mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})$ és l'espai de tensors de rang 3D, totalment simètrics i sense traça $n$ En particular, $^{(1)}\!{\mathcal {C}}$ i $^{(4)}\!{\mathcal {C}}$ corresponen a $\mathbb {H} _{0}$, $^{(2)}\!{\mathcal {C}}$ i $^{(5)}\!{\mathcal {C}}$ corresponen a $\mathbb {H} _{2}$, i $^{(3)}\!{\mathcal {C}}$ correspon a $\mathbb {H} _{4}$.