Grau sexagesimal

Grau sexagesimal

Tipus	unitat d'angle, unitat no SI acceptada pel SI, unitat derivada en UCUM i unitats que no formen part del SI però s'hi mencionen i accepten
Unitat de	distància angular
Símbol	°
Conversions d'unitats
A unitats del SI	0,017453292519943 rad
A unitats estàndard	60 ′ 3.600 ″ 4 ᵐ 240 ˢ

Un grau sexagesimal (símbol °) és una unitat de mesura dels angles del pla definit com la sexagèsima part de qualsevol dels angles (iguals) d'un triangle equilàter, o bé, cadascuna de les divisions de les 360 en què es divideix una circumferència segons la divisió sexagesimal. Equival a la norantena part de l'angle recte. No és unitat del Sistema Internacional (SI).

S'empra per mesurar qualsevol angle, per donar les coordenades geogràfiques (longitud i la latitud terrestres), les coordenades astronòmiques (longitud i la latitud celestes) i l'amplada dels fusos horaris (15°). El transportador d’angles permet fer mesures directes d’angles dibuixats en graus sexagesimals.

Angle $\theta$ i la longitud del corresponent arc $L$ en una circumferència de radi $r$.

Els seus divisors són:

• Un grau sexagesimal són seixanta minuts sexagesimals (1° = 60′) (a vegades abreujats arcmin).
• Un minut sexagesimal són seixanta segons sexagesimals (1′ = 60″).

Un angle mesurat en graus, minuts i segons, com 39° 29′ 24″, es llegeix: 39 graus, 29 minuts i 24 segons.

La relació entre l'angle en graus $n^{\circ }$ i la longitud de l'arc $L$ d'una circumferència de radi $r$ es basa en una proporció simple: la longitud de l'arc és a la longitud total de la circumferència $2\pi r$ el que l'angle és a la volta completa $360^{\circ }$. La fórmula és:

$$L={\frac {n^{\circ }}{360^{\circ }}}2\pi r={\frac {n^{\circ }\pi r}{180^{\circ }}}$$

Relacions amb d'altres unitats

Transportador d'angles graduat en graus sexagesimals de 0° a 180°.

Altres unitats per a mesurar angles del pla són el radiant i el grau centesimal.

Es relaciona amb el radiant, la unitat del Sistema Internacional d'Unitats, per mitjà de:$$1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {2\pi \,{\mbox{rad}}}{360^{\circ }}}={\frac {\pi \,{\mbox{rad}}}{180}}\approx 0,017\,45{\mbox{ rad}}$$$$1\,{\mbox{rad}}=1\,{\mbox{rad}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi \,{\mbox{rad}}}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57,295\,78^{\circ }\approx 57^{\circ }\,17'\,45''$$

L'escaire té angles de 30°, 60° i 90°.

La relació amb els graus centesimals és:

$$1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {400^{g}}{360^{\circ }}}={\frac {10^{g}}{9}}=1,\!{\widehat {1}}^{g}$$$$1^{g}=1^{g}\cdot {\frac {360^{\circ }}{400^{g}}}={\frac {9^{\circ }}{10}}=0,9^{\circ }$$

Símbols

En aquesta calculadora els angles s'expressen en graus sexagesimals (DEG) com s'observa a la part inferior de la pantalla.

En una calculadora, quan sobre un angle actua una funció trigonomètrica s'acostuma a expressar en graus i part decimal de grau.

sin (47° 52′ 38″) = sin (47,877222...) = 0,741709...

Així 32,4762° = 32° 28′ 34,32″ on els divisors del segon sexagesimal sí que usen el sistema decimal.

A les calculadores s'acostuma a indicar les unitats utilitzades en els càlculs d'angles amb les abreviatures següents:

graus sexagesimals	DEG
radiants	RAD
graus centesimals	GRA

La introducció d'un angle en graus, minuts i segons es fa, a les calculadores científiques, emprant la seguent tecla que s'ha de pitjar després d'introduir cadascun dels valors de graus, minuts i segons. Després, amb la mateixa tecla, es pot alternar entre expressar l'angle només en graus, amb els corresponents decimals, o en graus, minuts i segons:

° ' "

El sistema sexagesimal de mesurament d'angles

unitat	valor	símbol	abreviatura(es)
grau	1/360 cercle	° símbol de graus	º
minut d'arc	1/60 graus	′ (símbol de minuts)	${\hat {'}}$
segon d'arc	1/60 minuts d'arc	″ (símbol de segons)	″
mil·lèsimes de segon d'arc	1/1000 segons d'arc		msa

Història

Els sumeris

Localització de Sumer, entre la desembocadura dels rius Eufrates i Tigris.

L'origen del grau sexagesimal és antiquíssim. El sistema sexagesimal fou fet servir des del temps dels sumeris fa més de 5 000 anys. Els astrònoms sumeris feien servir en els seus treballs el sistema de numeració sexagesimal. L'origen de la numeració de base 60 és una de les incògnites de la història. S'han formulat moltes hipòtesis; entre elles, la de Teó d'Alexandria (segle iv dC) per a qui l'elecció resideix en el fet que és un nombre amb molts divisors (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60).

Una altra hipòtesi considera que podria tenir el seu fonament que els calculistes sumeris usessin per comptar amb boles d'argila, un dels traços més senzills de fer a terra, una aspa de tres braços, i la més senzilla de les numeracions, el decimal emprant els dits de les mans. Amb això, s'estaven combinant simultàniament dos sistemes de numeració de bases respectives 60 i 10. Amb aquests dos artificis, una persona que necessités comptar una sèrie d'objectes (animals, atuells, persones, etc.) podria traçar fàcilment a terra una aspa de tres braços, usant un simple palet per dibuixar a la sorra. A continuació, començaria a comptar els objectes amb els dits, col·locant tants comptes d'argila a cadascun d'aquests sectors com dits hagués utilitzat, i col·locant deu comptes a cada sector. Si un cop plens, cada sector contenia deu comptes (objectes), els sis sectors del cercle complet contindrien 60 objectes, que formarien el primer nivell del sistema. Repetint l'operació amb una segona aspa, i prenent com a unitat bàsica de compte els seixanta objectes del cercle anterior, ompliria, comptant novament amb els dits, el primer sector de la segona aspa fins a 600 objectes, i completant de nou els sis sectors de la segona aspa tindríem els 600 * 6 = 3 600 = 60².

Els babilonis

Numerals babilonis.

Com altres pobles antics, els mesopotàmics observaren les variacions en les posicions del Sol, de la Lluna i dels cinc planetes visibles (Mercuri, Venus, Mart, Júpiter i Saturn) sobre el rerefons estel·lar del firmament. Abans del 2000 aC, un escrivà de la ciutat meridional d’Uruk, en referir-se a una festivitat dedicada a la deessa Inanna, deixà ben clar que, en tant que Venus, podia ésser tant l’estel del matí com el del vespre, segons si apareixia abans de l’alba o després de la posta. Per a ells, Venus constituïa un únic astre, i n’observaren la posició canviant, conjuntament amb la dels altres planetes i la Lluna. Totes aquestes posicions es disposen sobre un mateix gran cercle, anomenat eclíptica, definit pel moviment aparent del Sol tal com és percebut des de la Terra al llarg de l’any. La raó per la qual la Lluna i els planetes es troben sobre l’eclíptica rau en el fet que, des del punt de vista terrestre, el pla del sistema solar intersecta la volta celeste en un gran cercle, i és en aquest indret on es manifesten.

Per tal d’enregistrar llurs moviments amb precisió calgueren dos elements: un calendari fix i un mètode per a consignar les posicions sobre l’eclíptica. Els calendaris, tanmateix, presentaren dificultats. Les fases de la Lluna establiren un ritme en la vida de totes les cultures antigues, i fou natural que els mesopotàmics fonamentessin llur calendari en mesos que s’iniciaven al capvespre amb la primera lluna creixent. Amb una bona visibilitat, un mes lunar dura vint-i-nou o trenta dies, i vers el 500 aC els babilonis descobriren un sistema per a determinar l’inici de cada mes. Aquest sistema emprà un cicle de dinou anys: dinou anys equivalen gairebé exactament a dos-cents trenta-cinc mesos lunars, i el mecanisme es basà en set anys llargs (de tretze mesos) i dotze anys curts (de dotze mesos). D’això se’n derivà un mètode fix d’intercalar anys llargs i curts, encara vigent avui en el calendari hebreu i en tot allò del calendari cristià que depèn de la data de Pasqua de Resurrecció.

Els registres que permeteren de descobrir aquest cicle s’iniciaren a mitjan segle viii aC, quan els astrònoms babilonis consignaren observacions nocturnes en allò que avui anomenem «diaris astronòmics». Aquests es prolongaren fins a la fi de l’erudició cuneïforme al segle i dC, i proporcionaren vuit-cents anys de registres astronòmics: una fita extraordinària, molt superior a qualsevol altra a Europa fins avui. Això afavorí avenços notables, especialment el descobriment dels anomenats cicles de Saros per a la predicció d’eclipsis. Cadascun d’aquests cicles comprèn dos-cents vint-i-tres mesos lunars i es perpetua al llarg de més d’un mil·lenni. Encara avui hi ha cicles de Saros en funcionament que foren observats per primer cop als segle viii i ix, i continuen essent la base de la predicció d’eclipsis, amb descripcions detallades, per exemple, al lloc web de la NASA.

Els astrònoms de Babilònia ja empraren els cicles de Saros a la fi del segle vii aC. Per a seguir-los només necessitaren un calendari lunar, però per a treballs més refinats sobre la Lluna i els planetes els calgué un calendari estable, no lunar. Adoptaren, doncs, una idea antiga, ja emprada durant el tercer mil·lenni, per a un calendari administratiu: dotze mesos de trenta dies, que configuraven un cicle de tres-cents seixanta dies. Aquest «calendari ideal» reaparegué al segon mil·lenni aC en les Set Tauletes de la Creació babilòniques, on s’afirma que el déu Marduk «establí tres estels per a cadascun dels dotze mesos». Aquests triplets d’estels corresponien a dotze divisions de l’eclíptica, una per a cada mes ideal de trenta dies, però es tractava d’un calendari idealitzat que no s’emprà en la vida quotidiana.

Les dotze divisions iguals de l’any també s’aplicaren al dia, comptat de posta a posta, dividit en dotze beru. Així, a l’Epopeia de Guilgameix —redactada durant el segon mil·lenni aC—, el nostre heroi competeix amb el Sol al llibre IX, i se’ns descriu el seu progrés en cada beru, fins a sortir-ne finalment lleugerament avançat. Igual com en el cas del mes ideal, un beru es subdividia en trenta parts iguals anomenades uš, cosa que donava un total de tres-cents seixanta uš en un període de vint-i-quatre hores. Cada uš equivalia, per tant, a quatre minuts en termes actuals. També s’empraren fraccions d’un uš: així, en els diaris astronòmics trobem un cas en què la primera aparició de la Lluna fou visible durant tres quarts i tres quartes parts d’un uš (quinze minuts).

Portada d'una còpìa del 1528 de l'Almagest de Claudi Ptolemeu.

Una consignació acurada del temps fou essencial per a aquests diaris, així com també ho foren les posicions de la Lluna i dels planetes. Durant el segle v aC es desenvolupà un sistema susceptible d’una gran precisió: l’eclíptica fou dividida en dotze parts iguals, cadascuna subdividida en trenta divisions més fines (també anomenades uš), que donaven un total de tres-cents seixanta uš. Per a una major exactitud, cada uš es subdividia en seixanta parts. Cadascuna de les dotze seccions fou designada amb el nom d’una constel·lació, i quan els grecs adoptaren els resultats babilònics conservaren aquestes constel·lacions, bé que els atorgaren noms grecs —Bessons, Cranc i Lleó—, la majoria dels quals mantenien el mateix significat que a Babilònia.

Els grecs

A mesura que la geometria grega es desenvolupà, forjà el concepte d’angle com a magnitud —a tall d’exemple, la suma dels tres angles d’un triangle equival a dos angles rectes—, però a Els Elements d’Euclides (c. 300 aC) no hi hagué cap unitat de mesura fora de l’angle recte. Posteriorment, al segle II aC, l’astrònom grec Hiparc de Rodes començà a aplicar la geometria a l’astronomia babilònica. Necessità un mètode per a mesurar els angles i, de manera natural, seguí la divisió babilònica de l’eclíptica en 360 graus, tot dividint el cercle segons aquest mateix criteri. Així, els astrònoms grecs seguiren el criteri dels babilonis i van continuar amb el sistema sexagesimal, però el van adaptar al sistema de notació alfabètica de nombres. En l'Almagest Claudi Ptolemeu (ca. 85 - ca. 165) empra la paraula μοῖρα, moîra, que significa ‘part, divisió’. Aquest vocable fou traduït a l'àrab per دَرَجَة, darajah o darágah, i aquest, alhora, fou abocat literal al llatí per scala, gradus ‘graó, esglaó’ d'on s'originà la paraula «grau». El mateix Ptolemeu, a les subdivisions del grau les anomena: primera part seixantena i segona part seixantena, i les locucions corresponents, però abreujades, van arribar al llatí, a través de les traduccions que de l'obra d'aquest autor grec van fer els àrabs, per primera minuta, secunda minuta; d'on minut = pars minuta, ‘petita part’. El costum d'usar el cercle a manera de pseudoexponent per designar els graus sexagesimals, es remunta també a Ptolemeu, que usava sovint l'abreujament µº per μοίρα, moîra, (') per a minuts i (") per a segons. Aquesta divisió arribà a l'Europa central per mitjà dels àrabs, que la van prendre dels grecs.

Vegeu també

• Segon