Улитка Паскаля

Ули́тка Паска́ля, плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Уравнение в прямоугольных координатах

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=l^{2}(x^{2}+y^{2})}$,

в полярных координатах

${\displaystyle \rho =a\cos \phi +l}$.

Симметрична относительно оси ${\displaystyle Ox}$ (рис.). Начало координат – двойная точка, изолированная при ${\displaystyle a<l}$, узловая при ${\displaystyle a>l}$, точка возврата 1-го рода (см. Особая точка) при ${\displaystyle a=l}$ (в этом случае улитка Паскаля – кардиоида). Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода. Площадь, ограниченная улиткой Паскаля, ${\displaystyle S=\pi a^{2}/2+\pi l^{2}}$; при ${\displaystyle a>l}$ площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды. Улитка Паскаля – частный случай декартова овала.

Названа по имени французского математика-любителя Э. Паскаля, отца Б. Паскаля, впервые рассмотревшего её в 1-й половине 17 в.